高三数学(文)一轮教学案:第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析
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第2讲 等差数列及前n 项和
考纲展示 命题探究
考点一 等差数列的概念及运算
1 等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示,定义的表达式为a n +1-a n =d ,d 为常数.
2 等差中项
如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,且A =a +b 2.
3 等差数列的通项公式及其变形
通项公式:a n =a 1+(n -1)d ,其中a 1是首项,d 是公差.通项公式的变形:a n =a m +(n -m )d ,m ,n ∈N *.
4 等差数列的前n 项和
等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2
=na 1+n (n -1)2d . 5 等差数列的单调性
当d >0时,数列{a n }为递增数列;
当d <0时,数列{a n }为递减数列;
当d =0时,数列{a n }为常数列.
注意点 定义法证明等差数列时的注意事项
(1)证明等差数列时,切忌只通过计算数列的a 2-a 1,a 3-a 2,a 4
-a 3等有限的几个项的差后,发现它们都等于同一个常数,就断言数列{a n }为等差数列.
(2)用定义法证明等差数列时,常采用a n +1-a n =d ,若采用a n -a n -1=d ,则n ≥2,否则n =1时无意义.
1.思维辨析
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )
(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )
(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( )
A .1
B.53 C .2
D .3 答案 C
解析 因为S 3=(a 1+a 3)×32
=6,而a 3=4.所以a 1=0,所以d =a 3-a 12=2.
3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于
( )
A .8
B .10
C .12
D .14
答案 C
解析 ∵S 3=3(a 1+a 3)2
=3a 2=12,∴a 2=4. ∵a 1=2,∴d =a 2-a 1=4-2=2.
∴a 6=a 1+5d =12.故选C.
[考法综述] 等差数列的定义,通项公式及前n 项和公式是
高考中常考内容,用定义判断或证明等差数列,由n ,a n ,S n ,a 1,d 五个量之间的关系考查基本运算能力.
命题法1 等差数列的基本运算
典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10=30,a 20=50.
(1)求通项a n ;
(2)若S n =242,求n .
[解] (1)由a n =a 1+(n -1)d ,a 10=30,a 20=50,
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 1+9d =30,a 1+19d =50. 解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10;
(2)由S n =na 1+n (n -1)2d ,S n =242,
得方程12n +n (n -1)2×2=242,
解得n =11或n =-22(舍去).
【解题法】 等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
命题法2等差数列的判定与证明
典例2数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.
(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;
(2)求{a n}的通项公式.
[解](1)证明:∵a n+2=2a n+1-a n+2,
∴b n+1-b n=a n+2-a n+1-(a n+1-a n)
=2a n+1-a n+2-2a n+1+a n=2.
∴{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)得b n=1+2(n-1),即a n+1-a n=2n-1,
∴a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,
…,a n-a n-1=2n-3,累加法可得
a n-a1=1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)2,
∴a n=n2-2n+2.
【解题法】等差数列的判定方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n-a n-1为同一常数.
(2)等差中项法:验证2a n-1=a n+a n-2(n≥3,n∈N*)成立.
(3)通项公式法:验证a n=pn+q.
(4)前n项和公式法:验证S n=An2+Bn.
1.在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=()
A.-1 B.0
C.1 D.6
答案B
解析设数列{a n}的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,∴a6=a4+2d=0.故选B.
2.已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n.若a3,a4,a8成等比数列,则()