第二章 弹性体动力学的变分原理

第二章 弹性体动力学的变分原理

§2.1 弹性体动力学的功能概念

第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互关系，根据动量定理建立它的基本方程。这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问题，根据能量变分原理来建立基本方程（控制方程）。首先介绍外力功、应变能、动能等三个弹性体的能量概念。

2.1.1 外力功的概念

弹性体上作用的外力一般地分为两类：一类分布在区域V 内的体积力f i ；一类作用在边界S 上的面积力i i 。在运动过程中弹性体发生微小位移du i ，外力在微小位移上所作的功，称为外力元功

∫∫+=ΔV S

i i i i e dS du t dV du f W (2.1) 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和，即

∑Δ=e e W W (2.2) 一般情况下，外力可能是时间、速度和位移等的函数，（2.2）式不一定存在积分形式。只是外力是位移场变量的函数且具有位，积分形式才有意义。上述功的的对内力同样适合。

2.1.2 应变能的概念

弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。它发生变形时，伴随产生力图恢复变形的弹性力，同时在弹性体内贮存一种位能，称为应变能。在1.5.2节已叙述了它的概念，应变能是个相对值，一般取初始构形（未变形构形）为零应变能构形，瞬时构形的应变能是该瞬时应变分量的函数，是变形过程中弹性恢复力所作的功，是个非负的标量。它为

∫∫==V V kl ij ijkl ij ij ij i dV C dV U εεεσε21

21

)( （2.3）

它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关，取决于当时的应变状态。从热力学观点看，若弹性体变形过程是一个绝热过程，即它是与外界没有热交换的等熵可逆过程，它的应变能就是弹性体的内能。若弹性体变形过程是等温过程，则它的应变能是弹性体的自由能。

2.1.3 动能的概念

弹性体的惯性性质是弹性体的运动属性。它运动产生速度时，弹性体就具有一种运动

能量，称为动能。弹性体动能是速度分量的函数，是个非负的标量。它为

∫∫==V V i i i i i dV v v dV v p v T ρ21

21

)( (2.4)

弹性体动能是个瞬时值，取决于当时相对于参考系的绝对速度分量。

§2.2 虚位移原理（微分原理）

2.2.1 虚位移与虚功的概念

弹性体的真实位移场变量在构形不同点上有确定值，是空间位置坐标的函数。在其区域V 内是个连续函数，保证介质的连续性。在边界上满足位移边界条件（变分法中的强迫边界条件），在边界上满足力的边界条件（变分法中的自然边界条件）。真实位移场变量还应满足相应的力学原理（例如动量定理或虚位原理），即它是弹性体基本方程的解。

),(t x u j i j x u S t S 若单纯地从变形的几何性质来看，对于弹性体从初始构形到一个瞬时构形的运动过程，可能有无数多个，现把它们的集合定义为虚位移)(j i x u δ。弹性体的虚位移具有如下特性：

（1）虚位移是满足连续条件和位移边界条件的位移场集合。因它是从几何学的观点所作的分析，并不涉及作用力的概念。

（2）虚位移是其位置在空间域内的一个微小变更，在数学上称之为变分。它不涉及时间概念，不是在时间域内的增量，这种增量称为微分。

（3）虚位移定义在给定瞬时、满足几何条件、各种可能发生的位移的集合，并不要求满足力学原理。满足力学原理的是其中的一组特殊虚位移，即弹性体的满足全部力学条件的真实位移。

根据上述的特性，虚位移是弹性体位移场变量的允许函数。根据虚位移的性质（2），虚位移是某瞬时位移场变量在空间域内的微小变更，故相应的作用力取瞬时值，在虚位移过程中认为是不变的。弹性体的外力在虚位移上所作的功，称之为外力虚功，它为

∫∫+=V S

i i i i e dS u t dV u f W δδδ (2.5) 在虚位移过程中，弹性体产生的虚应变是

)(2

1,,i j j i ij u u δδδε+= (2.6) 设与作用力相对应的弹性体内所产生的应力为ij σ，则弹性体虚应变能是 ∫=V

ij ij i dV U δεσδ (2.7) 在虚位移过程中，弹性体的虚速度为δv i ，则弹性体虚动能是

∫=V

i i dV v p T δδ (2.8) 以上各式是在虚位移场变量内的功能概念。

2.2.2 弹性体静力学的虚位移原理

弹性体虚位移原理是关于弹性体平衡充要条件的微分形式变分原理。虚位移原理叙述如下：物体平衡的充要条件是在理想约束下作用在物体上的主动力，包括外力及内力，在虚位移上所作的虚功和等于零。所谓理想约束是指物体所受到的一种运动限制条件，这所产生的约束反作用力在虚位移上所作的功等于零，即不耗散能量。一般情况下，物体的各种联系与约束可认为属理想约束。若有耗散能量的约束，则将它划入主动力。作用在弹性体上的主动力有：外力（体积力与表面力）和内力（弹性恢复力等）。根据虚位原理，弹性体的平衡条件是弹性体的虚应变能等于外力虚功，即

e i W U δδ=

或

∫∫∫+=V V S

i i i i ij ij dS u t dV u f dV δδδεσ (2.9) 这个公式是弹性体平衡的一般条件。

2.2.3 弹性体动力学的虚位移原理

根据达伦培尔(D Alembert)原理知，对于运动着的弹性体在其上际加它的惯性力，则作用在弹性体上的力系是一个平衡力系。于是，可用虚位移原理来分析弹性动力学问题。

设弹性体的加速度场是，则弹性体的惯性力是),(t x a j i i a ρ−

。于是，不难写出这惯性力在虚位移上所作的虚功，称之为惯性力虚功，它为 dV u dt u d W i i V m δρδ22−=∫ (2.10) 根据以上的分析，弹性体动力学的虚位移原理叙述如下：弹性体在某一瞬时的运动状态是使它的外力、弹性恢复力（内力）和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。即

m e i W W U δδδ+= (2.11) 或

∫∫∫+−=V V S i

i i i i ij ij dS u t dV u dt u d f dV δδρδεσ)(22 (2.12) 这个公式是分析弹性体瞬时动力学行为的基本关系式。

§2.3 最小位能原理

2.3.1 泛函的概念

能量变分原理是属于变分学中的泛函求驻值问题。泛函是函数的函数，前面讨论的应变能就是一种泛函，它是应变分量的函数，而应变分量本身是空间位置的函数，是个场变量函数。弹性力学中有许多量都是场变量的泛函。有关泛函和变分的概念可查阅有关教科书。

弹性力学基本原理由能量分原理给出，它们是以某种泛函取驻值的形式给出。根据泛