平面向量运算中的技巧

例说平面向量运算中的技巧

一、向量分解与合成

例1 P 为ABC ∆所在平面内一点，求证：0=⋅+⋅+⋅→→→→→→AB CP CA BP BC AP ．

证明：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅→→→→

PB CP BC AP =0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅→→→→PC AP CA BP =0，⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⋅→→→→PA BP AB CP =0，三式相加可以得到0=⋅+⋅+⋅→→→→→→AB CP CA BP BC AP ．

评注：分解即将一个向量分拆成几个向量，合成即将几个向量合成一个向量，从而达到简化的目的．

二、向量运算坐标化

例2 见例1．

证明：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，并设()0,c C ，()n m B ,，()y x P ,，则),(y x AP =→，),(n m c BC --=→，),(y c x CP -=→，),(n y m x BP --=→

，)0,(c CA -=→，),(n m AB =→．

从而0)()()(=+-+----=⋅+⋅+⋅→→→→→→ny c x m m x c yn m c x AB CP CA BP BC AP ． 评注：建立适当的平面直角坐标系，利用向量与点的坐标的对应关系，将向量运算坐标化，将几何问题代数化，常常能简缩思维，降低难度．

三、巧用向量数量积与余弦定理的联系

例 3 已知平面上三点A 、B 、C 满足3||=→AB ，4||=→BC ，5||=→CA ，则的值等于+⋅→→AC AB +⋅→→CA BC =⋅→→AB CA ．

解：

+⋅→→AC AB +⋅→→CA BC =⋅→→AB CA =⋅+⋅+⋅-→→→→→→)(AB AC CA CB BC BA ()22221[AC BC BA -+-+2

1 ()+-+222AB CA CB ()2222

1BC AB AC -+25]-=． 评注：实际上，在ABC ∆中，由数量积公式与余弦定理可以知道：=⋅→→AC AB =∠⋅→

→BAC AC AB cos |||| 2

2

22BC AC AB -+，这便是向量数量积与余弦定理的内在联系． 四、活用单位向量

例4 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，求证：23cos cos cos ≤++C B A ． 证明：记

→→→=1||e AB AB ，→→→=2||e BC BC ，→→→=3||e CA CA ，则1||||||321===→→→e e e ， 又由A AC AB AC AB cos ||||→→→→=⋅，知道=A cos →→⋅-31e e ，同理可以得到=B cos →→⋅-21e e ，=C cos →→⋅-32e e ．

所以

2123)]()[(21cos cos cos 2322212321-=++-++-=++→→→→→→e e e e e e C B A 232

321≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→→e e e ． 评注：因为→→||AB AB

即为与→

AB 同向的单位向量，单位向量的模为1，不共线的两单位向量合成于两单位向量所成角的平分线上，通过利用这样的性质解决上述问题．

五、平方去模

例5 已知向量→→≠e a ，1=→e ，对于任意的R t ∈，恒有||||→

→→→-≥-e a e t a ，则（ ） (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )

解：根据题意有2

2||||→→→→-≥-e a e t a ，即222t t e a a +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-→→→≥222→→→→+⋅-e e a a ，即+⋅-→→t e a t )(22)(2→→⋅e a

01≥-．

因为R t ∈，所以012442≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∆→→→→e a e a ，解得2

1→→→==⋅e e a ，即0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅→→→e a e ，因此选C ．

评注：在向量运算中，常常用公式→

→=a a 2||处理向量的模．