普通物理学第四章经典质点动力学 (1)

重力是物体所受地球引力的一个分力 二、弹性力：
w mg
物体发生弹性变形后，内部产生企图恢复形变的力。
弹簧的弹性力：
Fx k x
（k 称为劲度系数）
绳中张力：绳中任意横截面两侧互施的拉力。
l
F
m
F
FT＇
P
FT
'
若忽略绳的质量或加速度为零
FT FT F F
t0
dv x b dt vx m
y
v0

Fr A
P
v
x
o
bt / m
vx v0 cose mg bt / m mg v y ( v0 sin )e
b b
vx v0 cose mg bt / m mg v y ( v0 sin )e b b dx vxdt dy v y dt
正压力和支持力：因为接触面互相挤压变形产生。
三、摩擦力
（1）动摩擦力 当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接
触面对它的阻力，其方向与滑动方向相反。
f N
（2）静摩擦力
为滑动摩擦系数
当物体与接触面存在相对滑动趋势时， 物体所受到接触面对它的阻力，其方 向与相对滑动趋势方向相反。
注： 静摩擦力的大小随外力的变化而变化。 最大静摩擦力：
自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”， 一切就有了光明； 但是，光明并不久长， 魔鬼又出现了， 上帝咆哮说： “让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，
建立了动力学三大定律和万有引力定律。
其实，没有后者，就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推
f max 0 N
0 为静摩擦系数
四、流体阻力
物体在流体内运动时，所受到的流体的阻力。
F v
F vv
§4-3 质点动力学方程组 一、质点动力学基本运动方程 F ma F F1 F2 F3 在自然坐标中 a a1 a2 a3 在直角坐标中 F F Fn t F Fx i Fy j Fz k a a a t n
P
k 0 v
终极速度的讨论
高空中降落的两只铁球能同时落地吗？ 雨滴、冰雹、雪花落地情况 人在空气中下落的情况
例4 质量为
m 、长为 l
的柔软细绳，一端
系着放在光滑桌面上质量为 m＇ 的物体，如图所示 .
在绳的另一端加如图所示的力 F .
绳被拉紧时会略
现
有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 .
车轮胎与路面间的摩擦因数为 μ ，要使汽车不至
于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ）。
A. 不得小于 μ gR B.不得大于
μ gR
C. 必须等于 μ gR
D. 还应与汽车的质量有关
3. 如图所示，质量为m的物体用平行于斜面的细绳连 结并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动， 当物体恰脱离斜面时，它的加速度为（ A. g sin C. gctg B. g tan D. g cos ）。
4. 物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑 过程中，则（ ）。
A. 它受到的轨道的作用力的大小不断减小
B. 它受到轨道作用力的大小不断增加，速率不断
增加
C. 它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心
D.它的加速度方向永远指向圆心，速率保持不变
质量为m的物体放在水平桌面上，物 体与桌面间的最大静摩擦系数为 ，求拉 动该物体所需的最小的力是多少？
5、对计算结果进行必要的讨论。
例如解的物理意义，解的适用范围等。
1. 用水平力F 把一物体压靠在粗糙竖直墙面上保持 静止。当F逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f 的大 小（ ）。 A．不为零，但保持不变
B．随F 成正比的增大
C．无法确定
D．开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变
2. 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为 R ，汽
任何物体都有惯性；外力改变物体运动状态； 第一定律成立的参考系称为惯性参考系（孤立质点 相对它静止或作匀速直线运动的参考系）；
二、牛顿第二定律（牛顿运动方程） 物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小 与力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的 方向与力的方向相同。 数学形式：
F ma
dv x ma x m bv x dv y dt m ay m m g bv y dv x dt b dt vx m
y
v0

Fr
bdv y b dt mg bv y m
P
A
v
x
o
bdv y b dt mg bv y m
v0 x v0 cos v0 y v0 sin
3）列方程（一般用分量式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程；
5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
例1
阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计.且 m1 m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
FT W ma
o
l e
FT
t
o
R l
整理得
W

2 F mg cos ml T
g sin l
2 F mg cos ml T
g sin l
单摆 令
2
5 时 , sin

d g 2 dt l
隔离体法解题包含的一些环节：
1、准备工作：选择惯性参考系，选定隔离体作为研究对象。 2、受力分析：周围环境对隔离体运动的影响是通过力来实现 的。 （1）分析力要全面，不应有遗漏。 （2）不主观臆断力的大小和方向。 3、分析运动状况和建立坐标系：主要分析加速度。 4、建立方程和求解：建立矢量方程并向选定的坐标系投影。
a ax i a y j az k
Fx max
Fy may Fz maz
F mat mdv t dt 2 v Fn m an m

注意：Fx等是合力在该坐标轴上投影（或分量）的代数和。
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系；
上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，
她在更加坚实的基础上确立了自己的使
用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了 又一个繁花似锦的春天。
§4-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律（惯性定律） 孤立质点保持静止或作匀速直线运动。 数学形式：
v 恒矢量
（F 0）
惯性指质点所固有的、保持原有运动状态不变的特性。
（选讲）例2
o
解
FT P ma
2
v 2 FT sin m an m m r r A FT cos P 0
l FT
r l sin
o r P et v
en
l
FT

en
l

l
A
o r P e t v
FT m 2l
（1）力的动力学效果是使物体产生加速度。 说明： （2）牛顿第二定律中 系。 和 的关系为瞬时矢量关
力的独立作用原理
如果在一个质点上同时作用着几个力，则这几 个力各自产生自己的动力学效果而不互相影响。
F1 ma1, F2 ma2 F ma
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大 小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比， 加速度的方向与合外力的方向相同。
（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。
质点的运动微分方程
mr F (r , r , t )
1. 已知质点受力，可求出质点的运动规律 2. 已知质点运动，可求出质点的受力状况
§4-2 力学中常见的力
一、万有引力 重力：
重力
引力
m1m2 F G R2
G 6.671011 m3 kg1 s 2
F a m＇ m m＇ FT0 F m＇ m
（ 2）
dm mdx / l ( FT dFT ) FT m (dm)a adx l
l
dm
dx
mF dFT dx (m＇ m)l F l mF dx FT dFT (m＇ m)l x x F FT (m＇ m ) l m＇ m
FT dm FT dFT
dx
例5 不可伸长的摆线长度为 l ，一端固定在 o 点， 一端与摆锤相连；摆锤质量为 m ，可视为质点；系统 在过o 点的竖直平面内运动，试求单摆在小摆角情况下 的运动学方程和摆线内的张力。
解
mg sin mat mR
v2 2 Ft mg cos man m mR R
m
m
arccos
g
FT cos P
mg g cos 2 2 m l l
越大， 也越大
l
2
例3 有空气阻力情况下的抛体运动。 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， 即 Fr bv ， b 为比例系数 . 抛体的质量为 m 、 初速为 v0 、抛射角为 . 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
F cos Ff N 解 F sin N mg Ff m g F sin cos d ( μ sin θ cos θ） 0 dθ sin θ cosθ , tgθ μ mg mg Fmin 2 2 （ 1 ） cos 1
bt / m
ห้องสมุดไป่ตู้
y
v0
Fr A
k 0 m x (v 0 cos )(1 e bt / m ) o x b m mg mg bt / m y ( v0 sin )(1 e ) t b b b 2 mg mg b y (tan ) x 2 ln(1 x) bv0 cos b mv0 cos
设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：（1）绳
作用在物体上的力；（2）绳上任意点的张力 .
l
m＇
m
F
解 设想在点 P 将绳分为两段 其间张力 FT 和 F ＇ T 大小相等，方向相反 （ 1）
FT＇
P
FT
F
m＇
FT0
FT0＇
m
a
a
FT0 FT0＇ a FT0 m＇ F FT0＇ ma
2
g 0 l
2
整理得质点运动学方程
0 0
A cos(0t )
T 2π l g
A cos( t )
0
2 2 0 2
r l (约 束 方 程 ）
FT mg mlA sin ( 0 t )
m g [1 A 2 02 sin 2 ( 0 t )]
m1
解
m2
a m1 g FT m1a m2 g FT m2 a a m1 m2 2m1m2 a g FT g y P P 0 2 1 m1 m2 m1 m2
0 FT
y FT
如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端 固定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球 经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速 度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的 角度 为多少？空气阻力不计.
三、牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）
当物体A以力 作用在物体B上时，物体B也必 定同时以力 作用在物体A上，两力作用在同 一直线上，大小相等，方向相反。
数学形式：
FAB FBA
F F
（1）作用力和反作用力总是成对出现，任何一 说明： 方不能单独存在。并且同时产生，同时消失。 （2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因 此不能平衡或抵消。
N
F
θ
mg
如图：用一斜向上的力F 将重 为G的木块压靠在墙上，若不 论用多大的力，都无法使木块 向上滑动，则木块与墙面的静 摩擦因素满足： (A) μ ≥ 1/ 2 (B) μ≥ 1/ 3 ( C) ( D)
30o