万有引力定律经典例题

1．天体运动的分析方法

2

．中心天体质量和密度的估算

(1)已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R G Mm

R

2＝mg ⇒⎩⎨⎧

天体质量：M ＝

gR 2G

天体密度：ρ＝3g 4πGR

(2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T 和轨道半径r

⎩⎪⎨⎪⎧

①G Mm r 2＝m 4π2T 2r ⇒M ＝4π2r 3GT

2

②ρ＝M 43πR 3

＝3πr

3

GT 2R

3

③卫星在天体表面附近飞行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT

2

1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心

B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误．

答案：C

2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一

次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( )

A ．g ′∶g ＝4∶1

B ．g ′∶g ＝10∶7

C ．v ′∶v ＝

528

D ．v ′∶v ＝

514

解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G

Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43

πR 3

，解两式得g ＝4

3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力

充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4

3πR 3，解两式得v ＝2R

G πρ

3

，所以v ′∶v ＝528

，C 项正确，D 项错．

答案：C

3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( )

A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B ．求出地球与月球之间的万有引力

C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2

2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2

T 1

2得T 1＝

4π2r 13

GM

＝4π2r 13

Gρ43πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m

r 22

＝mr 24π2

T 2

2，T 2＝4π2r 23

GM ′

，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A 错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做

圆周运动的半径r1，根据F＝

GMM′

r1

2

可求出地球和月球之间的引力，B正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D错误．

答案：B

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天

体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算

天体密度时，V＝

4

3

πR3中的R只能是中心天体的半径.

考点二人造卫星的运行

授课提示：对应学生用书第57页

1．人造卫星的a、ω、v、T与r的关系

GMm

r2＝

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

ma―→a＝

GM

r2―→a∝

1

r2

m

v2

r―→v＝

GM

r―→v∝

1

r

mω2r―→ω＝

GM

r3―→ω∝

1

r3

m

4π2

T2r―→T＝

4π2r3

GM―→T∝r

3

2．近地时mg＝

GMm

R2―→GM＝gR

2.

1．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：根据G

Mm

r2＝m

4π2

T2r得r＝

3GMT2

4π2＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．