《线性代数》精品课件：3-2-向量组的线性组合

am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
判断向量 可否由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的定理。
定理1: 向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的
充分必要条件是：
以 1,2 ,L ,m 为系数列向量，以 为常数项列向量
的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
线性方程组的矩阵表示和向量表示：
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a3 b) 因为
~ BB22112211
11 22 11 33
11 11 44 00
a21
a22 L
a2n
x
x2
M M M M M
am1
am 2
L
amn
xn
方程组可表示为 Ax b
b1
b
b2
M
bm
若A 1,2,L ,n
则方程组的向量表示为 x11 x22 L xnn b
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如： (1,2,3, ,n)
n维实向量
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
2. n 维向量的表示：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
(3) 0
(4) 0
(7)k l k l (8)k k k
注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 o
（2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o
5 3
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
2 1 0 0 0
有
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 5 2 3 3 0 4
所以，称 是 1, 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 , 4 线性表示。
• 一、n维向量及其线性运算
• 二、向量组的线性组合
§3.2 向量 组的 线性 组合
• 三、向量组间的线性表示 • 复习小结
一、n维向量及其线性运算
1. n 维向
量的定义：
n 个有次序的数 a1 , a2 ,L , an 所组成的有序数组 a1,a2 ,L ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai
分量全为零的向量 0,0,L ,0 称为零向量。
3. 向量的运算和性质
向量相等：如果 n 维向量 a1,a2 ,L ,an b1,b2,L ,bn
的对应分量都相等，即 ai bi i 1,2,L ,n
就称这两个向量相等，记为
向量加法：向量 a1 b1,a2 b2 ,L ,an bn 称为向量 a1,a2 ,L ,an b1,b2 ,L ,bn
（3） 0 0; (1) ; 0 0.
（4）如果 0, 则 0或 0
二、向量组的线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
例如： 2 1 0 0 0
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个m n矩阵
A (1 , 2 , , m )
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2wk.baidu.com
,
mT ,
构成一个m n矩阵
T 1
B
T 2
mT
aT (a1 ,a2 , ,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
令 a11 a12 L a1n
x1
A
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 ,L , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为数域p中的数，向量 ka1, ka2 ,L , kan 称为向量 a1,a2 ,L ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
例： 设a1 (1 1 2 2)T a2 (1 2 1 3)T a3 (1
1 4 0)T b (1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1
a解2 ：a3设线A性表(a示1 a并2 求a出3)表示B式 (A b) (a1 a2