第四章 平稳时间序列模型预测

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第一节 预测准则
ˆt h为 yt h 的预测值或 { yt }的h步预测值 称 y
ˆt h ( yt , yt 1, y
ˆt h et (h) yt h y
, yt N )
怎样选取预测函数 呢？直观的想法是所选取的 预测函数应能够使预测误差
(h p)
由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方预测公式 比较简单，只要知道 ym , ym1 , , ym p1 这p个历史值 便可以得到任意步长的平稳线性最小均方预测。 正是因为AR模型的建模与预测的简单性，所以它 成为预测问题中应用得最为广泛的时间序列模型。
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ˆt q 1 y ˆt q1 2 y ˆt q2 p xt q p q t y ……………….. ˆt h 1 y ˆt h1 2 y ˆt h 2 p y ˆ t h p , y hq 分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳计 算具有以下特点： (1)当 h q 时，预测计算公式中包含了 t , t 1 , …, t 1q 这 q 个值，与MA模型的预测计算一 样，需要由{ yt } 迭代计算出 { t } ，因此ARMA 模型的预测计算也非常繁琐； (2) 当h<q时，预测计算中不包含MA部分，可由 ˆt h1, y ˆt h2 , , y ˆt h p 进行递推计算； y
尽可能的小。这就需要确定一种准则，使得依据 这种准则能衡量采用某种预测函数所得的预测误 差比采用别的预测函数所得的预测误差小。
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一、 从几何角度提出预测问题 对在t+h的取值进行预测，我们所能利用的就是yt 在t和以前时刻的取值 yt , yt 1, , yt N 所提供的信息, ˆt h 是 yt , yt 1 , , yt N 的函数，我们知道 也就是说 y 最简单的函数是的线性函数，设为
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例如t yt , yt 1, , yt n1 Yt ' 时，可选取：
ˆt 1 α'Yt y (4.1)
假定我们已求得 α 之值，使得 ' y Yt 预测误差 t 1 与 t yt , yt 1, , yt n1 Yt ' 无关 ' 即有 E 成立 y α Y Y t t 0 t 1 则称(4.1)式为yt+1关于 t 的线性投影。并记为 ˆy | ˆt 1 E y t 1 t
yt 1 yt 1 2 yt 2 t
其向前一步的预测为 ˆt 1 1 yt 2 yt 1 y 一步预测的误差方差为 2
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向前二步的预测为
ˆt 2 1 y ˆt 1 2 yt y
ˆt 2 1 (1 yt 2 yt 1 ) 2 yt y
j 0
预测误差方差为
2
2 G j j 0
1
(4.7)
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第二节 ARMA模型预测 前面我们对最小均方预测的基本原理进行了讨论， 所有的结论都是在平稳的条件下得到的。下面我 们求ARMA模型的最小均方预测。 一、AR(p)模型的预测 考虑一个AR(2)模型
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综上可得，yt+h的线性最小均方误差预测为 ˆt h Gh t Gh1 t 1 Gh2t 2 y (4.5)
称(4.5)式为线性最小均方误差预测的传递函数形 式。我们知道这是可以实现的，因为一个系统的 参数完全可以由其格林函数确定。 h 1 ˆt h G j t h j 预测的残差为 yt h y (4.6)
预测误差的方差为 (1 12 ) 2
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类似可得三步预测的误差为
ˆt 3 ( t 3 1 t 2 2 t 1 ) (0) yt 3 y
2 2 2 (1 ) 预测误差的方差为 1 2
与前三步预测相似，模型中已没有记忆对前四步 预测有帮助。这时的预测值已经是这个系统的均 ˆt 4 ( t 4 1 t 3 2 t 2 ) 0 值。即有 yt 4 y 2 2 2 (1 ) 其预测误差的方差为 1 2 更一般的情况，对于一个MA(q)模型 ˆt h1 q ˆt hq ˆt h 1 1 h q h步预测公式为 y
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ˆt h 看成h的函数(记为 y ˆt (h))， (3) 当h>q时，如果把 y ˆt (h) 的齐次差分方程； 则预测公式是一个关于 y ˆt (h) 也可以 y 因此，如同AR模型的最佳预测一样， 由齐次差分方程所确定。
根据上面的分析可知，ARMA模型的最佳预测计 算远较AR模型复杂，同时其建模过程也是繁琐的。
仿照AR和MA模型同样的步骤可以推得关于 ARMA(p,q)模型的预测公式，
ˆt 1 1 yt y
p yt 1 p 1t
qt 1q
q t 2q
ˆt 2 1 y ˆt 1 2 yt p yt 2 p 2t y ……………..
ˆt h 0 y hq
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h步预测残差的方差为 2 ( i2 )
i 0
h 1
三、 ARMA(p,q)预测 对于一个ARMA模型，
yt 1 yt 1
p yt p t 1t 1
qt q
ˆt h g0 yt g1 yt 1 y
现在的问题是如何求出系数 ˆt h 与 yt h 最接近。 使得 y
g0 , g1 ,
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图4.1 在平面M上的投影
从几何图形来看，离yt+h最近的是向量yt+h在平面M 上的投影。
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第三节 案例分析 【例4.1】基于批发价格指数的美国通货膨胀研究 批发价格指数(Wholesale Price Index，简记为WPI) 是通货膨胀测定指标的一种，它是根据大宗物资 批发价格的加权平均价格编制而得的物价指数,反 应不同时期生产资料和消费品批发价格的变动趋 势与幅度的相对数。包括在内的产品有原料、中 间产品、最终产品与进出口品，但不包括各类劳 务。批发价格是在商品进入零售，形成零售价格 之前，有中间商或批发企业所订，其水平决定于 出厂价格或收购价格，对零售价格有决定性影响。
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第四章 平稳时间序列模型预测
时间序列分析预测的重要性
时间序列分析的一个重要的目的是预测其未来值，就是根 据以往积累的数据进行分析，先确定其时序模型的形式， 然后对未来可能出现的结果进行预测。 预测是计量经济分析的重要部分，对某些人来说也许是最 重要的部分。 概括地说，在计量经济学中依据时间序列数据进行经济预 测的方法有四种：(1)单一方程回归模型；(2)联立方程回 归模型；(3)自回归移动平均模型；(4)向量自回归模型。
………………..
p yt 2 p
p yt
ˆt p 1 y ˆt p1 2 y ˆt p2 y
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……………. ˆt h 1 y ˆt h1 2 y ˆt h2 y
ˆt h p p y
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二、求解正交投影 基于直到时刻t的信息集 t 对变量 yt h 取值的预测 记为 y ˆt h ，为获得此预测必需指明相应的损失函 数(loss function)。一个十分方便的结果是选取平 ˆt 1 ，使其均方误差达到最 方损失函数，即选取 y 小。 ˆt 1 关于t 的条件期望 y 容易知道， yt 1|t E yt 1 | t 是 yt 1 关于 t 的最小均方误差预测。 这种预测具有许多优良性质，但其计算比较复杂。 在许多的实际应用问题，我们更感兴趣于在的线 性函数类中寻求的预测。
注意到
yt 2 1 ( yt yt 1 t 1 ) 2 yt t 2 故二步的预测误差的方差为
2 (1 1 )2
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更一般的情形，遵从AR(p)的序列满足随机差分方 程 yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p t 由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方误差预测 公式为
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(1)MA(q)模型只能对未来进行q步预测，当h>q时， 预测值为零(时间序列均值为零)；因此当模型阶 数较低时，MA模型只能进行短期预测； (2)MA模型预测中使用的 t , t 1 , , t hq ，其数 据需要{ yt } 的全部历史数据迭代计算，并需要设 0 , 1 , , 1q 的取值，由此可知这种处理比较繁 琐，有一定主观性，故不便应用。
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二、MA(q)模型的最小均方预测 对于MA(q)模型
yt t 1 t 1
q t q
我们可以得到预测值的递推公式为
ˆt h1 ˆt h 1 y
ˆt h 0 y
ˆt hq q
1 h q
hq
(4.11)
分析预测公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳预 测具有以下两个特点：
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三、最小均方误差预测 设随机序列适合一个ARMA模型，即
yt 1 yt 1 p yt p at 1 t 1 q t q
在已知 t 的条件下，很自然会考虑到 yt , yt 1 , ˆt h C0 yt C1 yt 1 的线性函数 y 这是一种比较容易处理而在使用中最有广泛意义 的情形。作为一个好的预测值，应该满足预测的 误差越小越好，于是问题转化为求 , C0 , C1 , 使 yt h与 y ˆt h 之间的误差最小。使预报的均方误差最 小的称为线性最小均方预测。
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设有MA(2)模型 yt t 1 t 1 2 t 2 则有一步预测 yt 1 t 1 1 t 2 t 1 ˆt 1 1 t 2 t 1 因而 y ˆt 1 t 1 ，因此预测误差的方差等 又由于 yt 1 y 于 2 。 对于前两步预测 yt 2 t 2 1 t 1 2 t ˆt 2 2 t y 易知 ˆt 2 ( t 2 1 t 1 2 t ) (2 t ) yt 2 y 预测误差为
ˆt h 1 y ˆt h1 2 y ˆt h2 y ˆt h p p y
再根据(4.9)式，AR(p)模型的递推预报公式为： ˆt 1 1 yt 2 yt 1 p yt p y
ˆt 2 1 y ˆt 1 2 yt y