有限体积法
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3
2.1 三角网格上的有限体积法
一、试探函数和检验函数空间 沿用上面的原始剖分及其对偶剖分.
P2 P2
Q2 P3 Q3 M4 P4 Q4 M3
M2 Q1 M1 P0 Q6 M6 M5 Q5 P6 P4 P1 P3
Q2 M3 Q3 M4 Q4
M2
Q1 M1 P1
P0 Q6 M6 Q5 M5 P6
P5
(20)
(21)
(22)
任一 vh ∈ Vh ,可表为
vh =
˙h P0 ∈Ω
vh (P0 )ψP0 .
(23)
对 w ∈ Uh ,设 Π∗ h w 是 w 往检验空间 Vh 的插值投影:
Π∗ hw =
˙h P0 ∈Ω
w(P0 )ψP0 .
(24)
二、有限体积法及差分格式 求解Poisson方程的有限体积法定义为:求 uh ∈ Uh ,使得 a(uh , vh ) = (f, vh ), ∀vh ∈ Vh , 或等价地
a(uh , Π∗ h uh ) 正定,即有 2 a(uh , Π∗ h uh ) =| uh |1 ≥ C
i k
Sj P Sk
Si
j
1
图 2: 任意三角形单元
Γ Gh
Γh
图 1
区域G的三角形剖分
显然 Si + Sj + Sk = S .令
Si Sj Sk , Lj = , Lk = , (7) S S S 则 Li , Lj , Lk ≥ 0, Li + Lj + Lk = 1.称 (Li , Lj , Lk ) 为点 P 的面积坐标.面积坐标与 坐标系无关. Li =
1 对 u ∈ U = H0 (Ω),设 Πh u 是 u 往试探函数空间 Uh 的插值投影.则有: | u − Πh u |m ≤ Ch2−m | u |2 , m = 0, 1. ∗ 检验函数空间 Vh 取为相应于 Th 的分片常数函数空间,其基函数为: ∗ 1, 当(x, y ) ∈ KP 0 ψP0 (x, y ) = 0, 在别处
∗ C2 h2 ≤ SP ≤ C3 h2 , 0
¯ h. ∀P0 ∈ Ω
(16) (17)
取试探函数空间 Uh 为相应于 Th 的一次有限元空间,即 1 Uh = {uh | uh ∈ C (Ω), uh |K ∈ P 1 (K ), ∀K ∈ Th , uh |∂ Ω = 0} ⊂ H0 (Ω).
2 有限体积法
首先介绍积分插值法. 假定 Ω 是多边形区域.将 Ω 做三角形剖分 Th ,三角形单元记为 K ∈ Th ,h 表示所 ∗ 有三角形的最大边长.剖分 Th 称为原始剖分.还要构造与 Th 相应的对偶剖分 Th .常 用的方法有两种: (I)重心对偶剖分.如图5,图中 Qi 是三角单元的重心,Mi 是各边中点.分别连接重心 点和边中点形成了一个围绕 P0 的多边形(图中阴影部分),即围绕内节点 P0 的一个 对偶剖分. (II)外心对偶剖分.如图6,设任一三角单元的内角不大于 90◦ .Qi 是三角单元的外 心(边中垂线的交点),Mi 是各边中点.分别连接外心点形成的多边形(图中阴影部 分),即围绕内节点 P0 的一个对偶剖分. 对于问题(1)-(2),积分插值法的构造如下: ∗ 上积分(1),并利用Green公式,得 如图6,在对偶单元 KP 0 ∂u − ds = f dxdy, ∗ ∂n ∗ ∂KP KP
∂uh 1 ∂uh ∂uh = [ (yk − yi ) + (yi − yj )] ∂x 2S ∂Lj ∂Lk 1 [ui (yj − yk ) + uj (yk − yi ) + uk (yi − yj )], = 2S
4
(19)
∂uh 1 ∂uh ∂uh = [ (xi − xk ) + (xj − xi )] ∂y 2S ∂Lj ∂Lk 1 = [ui (xk − xj ) + uj (xi − xk ) + uk (xj − xi )]. 2S 其中 uh = uh (xl , yl ), l = i, j, k .
在面积坐标之下,容易写出一次和二次的Lagrange型插值公式(分片多项式). 取 取
(1, 2, 3) 的三个顶点为插值节点(图3)的一次插值多项式形式如下: p1 (x, y ) = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3 ,
(8)
(1, 2, 3) 顶点及边中点为插值节点(图4)的二次Lagrange插值多项式如下:
3 3
5
4
1
图 3 一次元三角单元
2
1
图 4
6
二次元三角单元
2
3
p2 (x, y ) =
i=1
[Li (2Li − 1)ui + 4Lj Lk u3+i ],
(9)
其中 u 的下标 4, 5, 6 依次是边 23, 31, 12 的中点, Lj = Li+1 , Lk = Li+2 , L4 = L1 , L 5 = L 2 , L 6 = L 3 .
∗ 这时,a(¯ u h , Π∗ ¯h ).其中有 h uh ) = a(uh , Πh u ∂uh k a(uh , ψP0 ) = − ds = − ∗ ∂n ∂KP
0
k [(
∗ ∂KP 0
∂uh ∂uh dy − dx)] ∂x ∂y
即对于变系数方程,得到的双线性形式不对称. 由上命题直接可得双线性形式 a(·, ·) 的正定性. 定理 2.1
设 K = Pi Pj Pk 为任意三角单元,P (x, y ) 为单元内一点,其面积坐标为 (Li , Lj , Lk ). 于是 K 上的分片线性函数为: u h = u i Li + u j Lj + u k L k
= ui + (uj − ui )Lj + (uk − ui )Lk .
又有
(18)
1 有限元法
以问题(1)-(2)为例,我们阐述有限元法的定义. 第一、把边值问题化成等价的变分形式(用到了Green公式以及边值条件): 求 u ∈ 1 H0 (G),使得 1 a(u, v ) = (f, v ), ∀v ∈ H0 (G). (3) 其中
a(u, v ) =
G
(
∂u ∂v ∂u ∂v + )dxdy, ∂x ∂x ∂y ∂y f vdxdy.
2
一般地,我们有双线性形式 a(·, ·) 的正定性 a(u, u) ≥ γ u 及连续性
2 1
(10) v β
1
| a(u, v ) |≤ M
由此得收敛性
u
1
(11) u − uI
1
u − un
1≤
β inf
v ∈Vn
u−v
1≤
(12)
其中 u 是变分形式的解,un 是有限元法的解,uI 是 u 在 Vn 中的插值.
(29)
三、误差估计 命题 2.1 对于求解问题(1)-(2)的有限体积法的双线性形式 a(·, ·) 有:
a(uh , Π∗ ¯h ) = hu
K ∈Th
∇uh · ∇u ¯h dxdy = a(uh , u ¯h ),
K
∀uh ∈ Uh .
(30)
其中 a(uh , u ¯h ) 表示有限元法中的双线性形式 a(·, ·). 证明:
a(uh , Π∗ ¯h ) = hu
˙h P0 ∈Ω
u ¯h (P0 )a(uh , ψP0 ) u ¯h (P0 )
˙h P0 ∈Ω
=
其中
∗ ∂KP
(−wh dy + wh dx)
0
(1)
(2)
IK (uh , Π∗ ¯h ) hu
K ∈Th
IK (uh , Π∗ ¯h ) = hu
˙ P ∈K (1)
(25) (26) (27)
a(uh , ψP0 ) = (f, ψP0 ),
其中
˙ h, ∀P0 ∈ Ω
a(uh , vh ) =
˙h P0 ∈Ω
vh (P0 )a(uh , ψP0 ) (
∗ ∂KP 0
a(uh , ψP0 ) = − = −
∗ ∂KP
0
∂uh ds = − ∂n (
来自百度文库
∂uh ∂uh dy − dx) ∂x ∂y (28)
u ¯h (P ) ∂uh , ∂x
∗ ∂KP
K
(−wh dy + wh dx) ∂uh ∂y
(1)
(2)
wh = ˙ 表示 K = 这里的 K
wh =
(2)
Pi Pj Pk 的三顶点的集合.(如图7) 将(19)和(20)代入上式,我
Pk
Mj Q
Mi
Pi
图 7
Mk
三角单元
Pj
们有
IK (uh , Π∗ ¯h ) = hu =
有限元法与有限体积法
主讲人: 李永海 这份讲义内容分为两部分:第一部分简单介绍有限元法;第二 部分介绍有限体积法(广义差分法).我们以Poisson方程第一边值问 题为例: −∆u = f (x, y ), (x, y ) ∈ G, (1)
u |Γ = 0,
Γ = ∂G.
(2)
其中 G 为一多边形域, Γ = ∂G 为 G 的边界. f ∈ L2 (Ω) 为已知 函数.
K (1) (2)
(1)
(2)
∇uh · ∇u ¯h dxdy
由此可得
∗ a(¯ u h , Π∗ ¯h ) = h uh ) = a(uh , Πh u K
∇uh · ∇u ¯h dxdy
K
= a(uh , u ¯h ).
(31)
由此可看出对于Poisson方程(或常系数二阶椭圆)的线性元有限体积法双线性形式 是对称的,且等价于有限元法的双线性形式. 注:对于变系数方程,比如纯量对角变系数二阶椭圆方程 −∇k ∇u = f
6 i=1 Mi Qi Mi+1
∂uh ∂uh dy − dx). ∂x ∂y
对于均匀剖分(即 x 轴和 y 轴方向的步长均为 h ),则得五点差分格式: a(uh , ψP0 ) = 4uij − ui−1,j − ui+1,j − ui,j −1 − ui,j +1
=
∗ KP ij
f dxdy
5
G
(4) (5) (6)
(f, v ) =
1 (G),求 un ∈ Vn ,使得 选取有限维子空间 Vn ∈ H0 a(un , vn ) = (f, vn ), ∀vn ∈ Vn .
若选 Vn 的基为全支集的代数多项式或三角多项式,即为传统的Ritz-Gakerkin方 法.若取样条函数(分片多项式)作为 Vn 的基函数,即得 有限元法(FEM). 下面给出两个有限元空间的具体例子,即线性元和二次元. 第二、对区域 G 作三角形或四边形网格剖分.三角形剖分如图1. 第三、构造基函数.为此,需要面积坐标. 设 (i, j, k ) 是以 i, j, k 为顶点的任意三角形单元,面积为 S . 于 (i, j, k ) 内任取一点 P (x, y ),坐标为 (x, y ).过 P 作与三个 顶点的联线,把 (i, j, k ) 分成三个三角形(如右图2): (i, j, P ), (j, k, P ), (k, i, P ),其面积分别记为 Sk , Si , Sj .
0 0
(13)
∗ ∂KP 0
是
∗ KP 0
的边界,n 是
6
∗ ∂KP 0
的单位外法向量.
由此得到差分格式
−
i=1
Qi Qi+1 [uPi+1 − uP0 ] = P0 Pi+1
f dxdy,
∗ KP 0
(14)
有限体积元法(Finite Volume Element Methods),又称为广义差分法.它是积分 插值法的推广.
图 5 重心对偶剖分 图 6
P5
外心对偶剖分
¯ h 表示剖分 Th 的节点集合,Ω ˙h = Ω ¯ h \ ∂ Ω 表示为内节点集合.Ω∗ 表示对偶 用Ω h ∗ ∗ 剖分 Th 的节点 Q 的集合.对 Q ∈ Ω∗ , 以 K 表示含 Q 的三角单元 . 以 S Q Q 和 SP0 分 h ∗ ∗ 别表示三角单元 KQ 和对偶单元 KP 的面积.设 Th 和 Th 都是拟均匀的,即存在 0 与 h 无关的常数 C1 , C2 , C3 > 0,使得 C1 h2 ≤ SQ ≤ h2 , ∀Q ∈ Ω∗ (15) h
u ¯h (P )
˙ P ∈K (1) [wh (yMk
∗ ∂KP
K
(−wh dy + wh dx)
(2)
(1)
(2)
− yMj ) + wh (xMj − xMk )]¯ uh (Pi )
6
+ [wh (yMi − yMk ) + wh (xMk − xMi )]¯ uh (Pj ) + [wh (yMj − yMi ) + wh (xMi − xMj )]¯ uh (Pk ) ¯h ¯h (1) ∂ u (2) ∂ u = (wh + wh )SQ ∂x ∂y 这里 SQ 表示图7所示三角单元的面积. ∂uh ∂ u ¯h ∂uh ∂ u ¯h IK (uh , Π∗ ¯h ) = ( + )SQ hu ∂x ∂x ∂y ∂y =
2.1 三角网格上的有限体积法
一、试探函数和检验函数空间 沿用上面的原始剖分及其对偶剖分.
P2 P2
Q2 P3 Q3 M4 P4 Q4 M3
M2 Q1 M1 P0 Q6 M6 M5 Q5 P6 P4 P1 P3
Q2 M3 Q3 M4 Q4
M2
Q1 M1 P1
P0 Q6 M6 Q5 M5 P6
P5
(20)
(21)
(22)
任一 vh ∈ Vh ,可表为
vh =
˙h P0 ∈Ω
vh (P0 )ψP0 .
(23)
对 w ∈ Uh ,设 Π∗ h w 是 w 往检验空间 Vh 的插值投影:
Π∗ hw =
˙h P0 ∈Ω
w(P0 )ψP0 .
(24)
二、有限体积法及差分格式 求解Poisson方程的有限体积法定义为:求 uh ∈ Uh ,使得 a(uh , vh ) = (f, vh ), ∀vh ∈ Vh , 或等价地
a(uh , Π∗ h uh ) 正定,即有 2 a(uh , Π∗ h uh ) =| uh |1 ≥ C
i k
Sj P Sk
Si
j
1
图 2: 任意三角形单元
Γ Gh
Γh
图 1
区域G的三角形剖分
显然 Si + Sj + Sk = S .令
Si Sj Sk , Lj = , Lk = , (7) S S S 则 Li , Lj , Lk ≥ 0, Li + Lj + Lk = 1.称 (Li , Lj , Lk ) 为点 P 的面积坐标.面积坐标与 坐标系无关. Li =
1 对 u ∈ U = H0 (Ω),设 Πh u 是 u 往试探函数空间 Uh 的插值投影.则有: | u − Πh u |m ≤ Ch2−m | u |2 , m = 0, 1. ∗ 检验函数空间 Vh 取为相应于 Th 的分片常数函数空间,其基函数为: ∗ 1, 当(x, y ) ∈ KP 0 ψP0 (x, y ) = 0, 在别处
∗ C2 h2 ≤ SP ≤ C3 h2 , 0
¯ h. ∀P0 ∈ Ω
(16) (17)
取试探函数空间 Uh 为相应于 Th 的一次有限元空间,即 1 Uh = {uh | uh ∈ C (Ω), uh |K ∈ P 1 (K ), ∀K ∈ Th , uh |∂ Ω = 0} ⊂ H0 (Ω).
2 有限体积法
首先介绍积分插值法. 假定 Ω 是多边形区域.将 Ω 做三角形剖分 Th ,三角形单元记为 K ∈ Th ,h 表示所 ∗ 有三角形的最大边长.剖分 Th 称为原始剖分.还要构造与 Th 相应的对偶剖分 Th .常 用的方法有两种: (I)重心对偶剖分.如图5,图中 Qi 是三角单元的重心,Mi 是各边中点.分别连接重心 点和边中点形成了一个围绕 P0 的多边形(图中阴影部分),即围绕内节点 P0 的一个 对偶剖分. (II)外心对偶剖分.如图6,设任一三角单元的内角不大于 90◦ .Qi 是三角单元的外 心(边中垂线的交点),Mi 是各边中点.分别连接外心点形成的多边形(图中阴影部 分),即围绕内节点 P0 的一个对偶剖分. 对于问题(1)-(2),积分插值法的构造如下: ∗ 上积分(1),并利用Green公式,得 如图6,在对偶单元 KP 0 ∂u − ds = f dxdy, ∗ ∂n ∗ ∂KP KP
∂uh 1 ∂uh ∂uh = [ (yk − yi ) + (yi − yj )] ∂x 2S ∂Lj ∂Lk 1 [ui (yj − yk ) + uj (yk − yi ) + uk (yi − yj )], = 2S
4
(19)
∂uh 1 ∂uh ∂uh = [ (xi − xk ) + (xj − xi )] ∂y 2S ∂Lj ∂Lk 1 = [ui (xk − xj ) + uj (xi − xk ) + uk (xj − xi )]. 2S 其中 uh = uh (xl , yl ), l = i, j, k .
在面积坐标之下,容易写出一次和二次的Lagrange型插值公式(分片多项式). 取 取
(1, 2, 3) 的三个顶点为插值节点(图3)的一次插值多项式形式如下: p1 (x, y ) = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3 ,
(8)
(1, 2, 3) 顶点及边中点为插值节点(图4)的二次Lagrange插值多项式如下:
3 3
5
4
1
图 3 一次元三角单元
2
1
图 4
6
二次元三角单元
2
3
p2 (x, y ) =
i=1
[Li (2Li − 1)ui + 4Lj Lk u3+i ],
(9)
其中 u 的下标 4, 5, 6 依次是边 23, 31, 12 的中点, Lj = Li+1 , Lk = Li+2 , L4 = L1 , L 5 = L 2 , L 6 = L 3 .
∗ 这时,a(¯ u h , Π∗ ¯h ).其中有 h uh ) = a(uh , Πh u ∂uh k a(uh , ψP0 ) = − ds = − ∗ ∂n ∂KP
0
k [(
∗ ∂KP 0
∂uh ∂uh dy − dx)] ∂x ∂y
即对于变系数方程,得到的双线性形式不对称. 由上命题直接可得双线性形式 a(·, ·) 的正定性. 定理 2.1
设 K = Pi Pj Pk 为任意三角单元,P (x, y ) 为单元内一点,其面积坐标为 (Li , Lj , Lk ). 于是 K 上的分片线性函数为: u h = u i Li + u j Lj + u k L k
= ui + (uj − ui )Lj + (uk − ui )Lk .
又有
(18)
1 有限元法
以问题(1)-(2)为例,我们阐述有限元法的定义. 第一、把边值问题化成等价的变分形式(用到了Green公式以及边值条件): 求 u ∈ 1 H0 (G),使得 1 a(u, v ) = (f, v ), ∀v ∈ H0 (G). (3) 其中
a(u, v ) =
G
(
∂u ∂v ∂u ∂v + )dxdy, ∂x ∂x ∂y ∂y f vdxdy.
2
一般地,我们有双线性形式 a(·, ·) 的正定性 a(u, u) ≥ γ u 及连续性
2 1
(10) v β
1
| a(u, v ) |≤ M
由此得收敛性
u
1
(11) u − uI
1
u − un
1≤
β inf
v ∈Vn
u−v
1≤
(12)
其中 u 是变分形式的解,un 是有限元法的解,uI 是 u 在 Vn 中的插值.
(29)
三、误差估计 命题 2.1 对于求解问题(1)-(2)的有限体积法的双线性形式 a(·, ·) 有:
a(uh , Π∗ ¯h ) = hu
K ∈Th
∇uh · ∇u ¯h dxdy = a(uh , u ¯h ),
K
∀uh ∈ Uh .
(30)
其中 a(uh , u ¯h ) 表示有限元法中的双线性形式 a(·, ·). 证明:
a(uh , Π∗ ¯h ) = hu
˙h P0 ∈Ω
u ¯h (P0 )a(uh , ψP0 ) u ¯h (P0 )
˙h P0 ∈Ω
=
其中
∗ ∂KP
(−wh dy + wh dx)
0
(1)
(2)
IK (uh , Π∗ ¯h ) hu
K ∈Th
IK (uh , Π∗ ¯h ) = hu
˙ P ∈K (1)
(25) (26) (27)
a(uh , ψP0 ) = (f, ψP0 ),
其中
˙ h, ∀P0 ∈ Ω
a(uh , vh ) =
˙h P0 ∈Ω
vh (P0 )a(uh , ψP0 ) (
∗ ∂KP 0
a(uh , ψP0 ) = − = −
∗ ∂KP
0
∂uh ds = − ∂n (
来自百度文库
∂uh ∂uh dy − dx) ∂x ∂y (28)
u ¯h (P ) ∂uh , ∂x
∗ ∂KP
K
(−wh dy + wh dx) ∂uh ∂y
(1)
(2)
wh = ˙ 表示 K = 这里的 K
wh =
(2)
Pi Pj Pk 的三顶点的集合.(如图7) 将(19)和(20)代入上式,我
Pk
Mj Q
Mi
Pi
图 7
Mk
三角单元
Pj
们有
IK (uh , Π∗ ¯h ) = hu =
有限元法与有限体积法
主讲人: 李永海 这份讲义内容分为两部分:第一部分简单介绍有限元法;第二 部分介绍有限体积法(广义差分法).我们以Poisson方程第一边值问 题为例: −∆u = f (x, y ), (x, y ) ∈ G, (1)
u |Γ = 0,
Γ = ∂G.
(2)
其中 G 为一多边形域, Γ = ∂G 为 G 的边界. f ∈ L2 (Ω) 为已知 函数.
K (1) (2)
(1)
(2)
∇uh · ∇u ¯h dxdy
由此可得
∗ a(¯ u h , Π∗ ¯h ) = h uh ) = a(uh , Πh u K
∇uh · ∇u ¯h dxdy
K
= a(uh , u ¯h ).
(31)
由此可看出对于Poisson方程(或常系数二阶椭圆)的线性元有限体积法双线性形式 是对称的,且等价于有限元法的双线性形式. 注:对于变系数方程,比如纯量对角变系数二阶椭圆方程 −∇k ∇u = f
6 i=1 Mi Qi Mi+1
∂uh ∂uh dy − dx). ∂x ∂y
对于均匀剖分(即 x 轴和 y 轴方向的步长均为 h ),则得五点差分格式: a(uh , ψP0 ) = 4uij − ui−1,j − ui+1,j − ui,j −1 − ui,j +1
=
∗ KP ij
f dxdy
5
G
(4) (5) (6)
(f, v ) =
1 (G),求 un ∈ Vn ,使得 选取有限维子空间 Vn ∈ H0 a(un , vn ) = (f, vn ), ∀vn ∈ Vn .
若选 Vn 的基为全支集的代数多项式或三角多项式,即为传统的Ritz-Gakerkin方 法.若取样条函数(分片多项式)作为 Vn 的基函数,即得 有限元法(FEM). 下面给出两个有限元空间的具体例子,即线性元和二次元. 第二、对区域 G 作三角形或四边形网格剖分.三角形剖分如图1. 第三、构造基函数.为此,需要面积坐标. 设 (i, j, k ) 是以 i, j, k 为顶点的任意三角形单元,面积为 S . 于 (i, j, k ) 内任取一点 P (x, y ),坐标为 (x, y ).过 P 作与三个 顶点的联线,把 (i, j, k ) 分成三个三角形(如右图2): (i, j, P ), (j, k, P ), (k, i, P ),其面积分别记为 Sk , Si , Sj .
0 0
(13)
∗ ∂KP 0
是
∗ KP 0
的边界,n 是
6
∗ ∂KP 0
的单位外法向量.
由此得到差分格式
−
i=1
Qi Qi+1 [uPi+1 − uP0 ] = P0 Pi+1
f dxdy,
∗ KP 0
(14)
有限体积元法(Finite Volume Element Methods),又称为广义差分法.它是积分 插值法的推广.
图 5 重心对偶剖分 图 6
P5
外心对偶剖分
¯ h 表示剖分 Th 的节点集合,Ω ˙h = Ω ¯ h \ ∂ Ω 表示为内节点集合.Ω∗ 表示对偶 用Ω h ∗ ∗ 剖分 Th 的节点 Q 的集合.对 Q ∈ Ω∗ , 以 K 表示含 Q 的三角单元 . 以 S Q Q 和 SP0 分 h ∗ ∗ 别表示三角单元 KQ 和对偶单元 KP 的面积.设 Th 和 Th 都是拟均匀的,即存在 0 与 h 无关的常数 C1 , C2 , C3 > 0,使得 C1 h2 ≤ SQ ≤ h2 , ∀Q ∈ Ω∗ (15) h
u ¯h (P )
˙ P ∈K (1) [wh (yMk
∗ ∂KP
K
(−wh dy + wh dx)
(2)
(1)
(2)
− yMj ) + wh (xMj − xMk )]¯ uh (Pi )
6
+ [wh (yMi − yMk ) + wh (xMk − xMi )]¯ uh (Pj ) + [wh (yMj − yMi ) + wh (xMi − xMj )]¯ uh (Pk ) ¯h ¯h (1) ∂ u (2) ∂ u = (wh + wh )SQ ∂x ∂y 这里 SQ 表示图7所示三角单元的面积. ∂uh ∂ u ¯h ∂uh ∂ u ¯h IK (uh , Π∗ ¯h ) = ( + )SQ hu ∂x ∂x ∂y ∂y =