初中数学教学中的变式教学

浅谈初中数学教学中的变式教学

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类别初中数学

浅谈初中数学教学中的变式教学

内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被

广泛应用。新课程背景下充分运用变式教学，可拓展学生的思维．促

使学生自觉将数学学习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利

于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。本文首先提出变式

教学的本质含义、设计变式的原则，然后论述变式在各种数学题型

中的应用，最后强调变式教学的价值。

关键词：初中数学；变式教学；变式原则；有效教学

《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。

因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。

一、数学变式教学的本质含义

数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而

本质特征保持不变的教学形式。

初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。

二、变式教学中遵循的几个原则

2.1一题多解，触类旁通

通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

【案例1】如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？

（只剩一个底角和一条底边）

学生给出的三种“补出”方法：

①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；

②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；

③“对折”。

看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。

这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

学生总结出该题的三种常规的办法：

①作∠A 的平分线，利用“角角边” ②过A 作BC 边的垂线，利用“角角边” ③作BC 边上的中线，“边边角”不能证明

两种创造性的证法：

④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾 ⑤△ABC ≌△ACB ，应用“角边角”

2.2 一题多变，横向联想

通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。

【案例2】 如左图，有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm 。

要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点

分别在AB 、AC 上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？

N

E

B

C

Q M

D P

A

A

P

D M

Q

C

B

E

N

变式1 将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少

时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？

变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.52m ，工

人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计

加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你

认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计

算结果可保留分数）

A

D

F

C

B E

D

P

E

F

H G B C

A

图（1） 图（2）

变式3 已知△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝80，BC ＝60，如图所

示，把边长分别为1x , 2x , 3x ,…n x 的n 个正方形依次放入△ABC 中，

则第1个正方形的边长1x = ；第n 个正方形的边长

n x =

(用含n 的式子表示，n ≥1)。

A

B

C

x 3

x 2

x 1

变式4 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3.

（1）如图（1），四边形DEFG 为Rt △ABC 的内接正方形，求正方形的边长。 （2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于

Rt △ABC ，求正方形的边长。

（3）如图（3），三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接

于Rt △ABC ，求正方形的边长。

G F

E

D B

C

A K

H

G F

E

D

A

C

B

A

C

B 图（1）图（2）图（3）

2.3一题多导，创设情境

对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。

【案例3】在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。

（1）如图①，若半径为1

r的⊙

1

O是Rt△ABC的内切圆，求1

r。

（2）如图②，若半径为2

r的两个等圆⊙

1

O、⊙

2

O外切，且⊙

1

O与AC、

AB相切，⊙

2

O与BC、AB相切，求2r。

（3）如图③，当n大于2的正整数时，若半径n r的n个等圆⊙1O、⊙2O、…、

⊙O

n

依次外切，且⊙

1

O与AC、BC相切，⊙O

n

与BC、AB相切，⊙

1

O、⊙

2

O、

⊙

3

O、…、⊙

1

O

n

均与AB边相切，求n r.

图①图②图③通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。变式有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆

铁皮的

面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，

这块圆