多项式插值的振荡现象

数值分析实验报告多项式插值的振荡现象

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学院：数理与信息工程学院

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数值分析实验报告

a) 当节点为奇数个时，即n=2:4:10时，可以得到：

从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n 越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象；

b) 当节点为偶数个时，即n=3:4:11时，可以得到：

从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好

c) 当n=40时，得到：

N 取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合

（3）x x g arctan )(

c)当n=40时：

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2500

-2000-1500-1000-50005001000150020002500n=40

由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，

但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。

2.当节点为切比雪夫节点时：1,,2,1,)1(2)12(cos 22+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--++=

n k n k a b a b x k π 即错误!未找到引用源。，节点是对称的

a) 当节点为奇数个时，即n=2:4:10时，可以得到：

从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n 越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象；

b) 当节点为偶数个时，即n=3:4:11时，可以得到：

从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好

c) 当n=40时，得到：

N 取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合

综合分析上面的图像和数据可以发现：

节点数目的奇偶对实验没有什么影响，而且节点不是越多拟合越好，可能会发生发

散现象，对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同节点的位置不对称，则得到的插值函数也不对称节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好，对于不同的被插值函数，同样的插值节点选取往往能得到类似的结果。

2>实验二结果分析

1. 令2

2511

)(x x f +=

则下面就以这个函数做具体分析：

节点为5时，图如下

数值分析上机实验原始记录

实验名称：多项式插值的振荡现象实验时间： 2013年10月23日

姓名：学号：班级：

实验一的关键程序：

事先估计程序

m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.^2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),

gtext('y=1/(1+25*x^2)'),pause

n=3; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y1,'g'),gtext('n=2'),pause,hold off

n=4; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y2,'b:'),gtext('n=3'),pause,hold off

n=5; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y3,'r'),gtext('n=4'),pause,hold off

n=11; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y4,'r:'),gtext('n=10'),pause,hold off

n=51; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y5,'m'),gtext('n=50'),pause,hold off

n=81; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y6=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y6,'m'),gtext('n=80'),pause,hold off

%%1.1.a y=1./(1+25*x.^2) 的程序——均匀节点

m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.^2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),

gtext('y=1/(1+25*x^2)'),pause

n=2; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold off

n=4; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y2,'b:'),gtext('n=3'),pause,hold off

n=6; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold off

n=8; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y4,'r:'),gtext('n=7'),pause,hold off

%%1.1b ——切比雪夫节点

m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.^2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),