第六章 地壳应力与应变分析(一)
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当一地块受到应力作用时，其中的质点系O，P，Q，R的相对构形将以 某种方式发生变化。这种情况称为该地块经受应变。图中的实线表示 质点系O，P，Q，R未受应变的位置，虚线表示它们应变后的位置，向 量OO′称为O点的位移。如果给出了一地块中每一点的位移，那末该地 块的应变状态就完全清楚了。在应变分析中，都是假定已知位移，来 详细研究应变的性质及其随方向的变化。应当指出，这里所说的应变， 是指地块内各质点相对构形的变化；如果像刚体那样，位移只是平移 和旋转，就不存在应变。
应变的度量
应变有两种量度：一是一条线的长度变化，二是两条线（或一条线和一平 面）之间的角度变化，分别称为线应变和切（剪）应变。
1、线应变
设 是两相邻点O和P之间的距离，l 是应变后的相应点O′和P′之间的 距离，则线应变定义为
l
l l l
dl l
线应变 dl 的符号为正（伸张）表示张应变 dl 的符号为负（压缩）表示压应变
2、剪应变
变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角的量称为角剪 切应变 或简称角剪应变。其正切称为剪应变
tg
均匀应变与非均匀应变
物体内各点的应变特征相同的应变称为均匀应变。 其特征是：应变前的直线在应变后仍然是直线，一组平行线应变后 仍然互相平行 。
物体内各点的应变特征发生变化的应变称为非均匀应变。 其特征是：与均匀应变相反，直线经应变后不再是直线，而成了曲 线或折线，平行线应变后不再互相平行 。 非均匀应变又可分成连续应变（变形）和不连续应变（变形）：如 果物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，则称为连续应 变（变形）；如果是突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续 应变（变形）。
应力是连续介质力学中一个重要的基本概念。 应力是作用于固体上的外力或使固体发生变形的其它因素在固体中所产生 的内力的度量。 外力和内力 处于地壳中的任何地质体，都会受到相邻介质的作用力。这种研究对象以 外的物体对被研究物体施加的作用力称为外力。由外力作用引起的物体内 部各部分之间的相互作用力称为内力。 外力和内力是一对相对的概念，当研究范围扩大或缩小时，外力可以变为 内力，内力也可以变为外力。例如，当考察一个岩体内的某个矿物颗粒的 受力时，周围颗粒对颗粒的作用力是外力；当研究对象是该岩体时，周围 颗粒与该颗粒的相互作用力变成了内力，而围岩对岩体的作用力是外力； 当研究的对象扩展到该岩体所在板块时，围岩与该岩体之间的相互作用力 又变成了内力，而相邻板块对该板块的作用力是外力。
4、区域地壳运动应变分析
变形、应变、应力概念
变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的位 移，从而使岩石体的初始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常称 为变形。 位移的基本方式可以分为四种：平移、旋转、体变和形变。 平移和旋转是指刚体的平移和旋转，是物体相对于外部坐标作整体的平移 或旋转。这种位移并不引起物体内部各质点间相对位置的变化，因此平移 和旋转不会改变物体的形状。
x
和
xy ；同样，如图（b），过O点作一平面y＝0，通过
该面单位面积的力的分量为 yx 和 y
由于
xy yx
x
，这4个分量中只有3个是独立的 .
若通过O的平面的法线OP与Ox 轴成倾角 ，如图（d），则通过该面的应力分量
，
可以用
，
y
， xy 表示为如下(2)式(J.C.Jaeger,1969) :
用应力迹线和应力等值线表示的应力场 A. 剪应力分布（等值线单位为Mpa） B．主应力迹线 C．最大剪应力迹线
主应力矢量图表示应力场
非连续变形分析方法求得的华北地区主应力分布图
应变分析基础
1、应变的定义
2、应变的度量 3、均匀应变与非均匀应变 4、无限小应变分析 5、二维应变张量
应变的定义
变化的方式。
主应力 、主方向
微分（2）式得
d
d 令其为零可得
2 y x sin cos 2 xy cos 2 sin 2
tg 2 2 xy
x
y
此时法向应力为最大或最小；而此时切应力为零。 上式定义了成正交的两个方向（主方向），在这两方向上，一点上 的法向应力一为最大，一为最小，切应力为零。这两方向构成应力 的主轴，主轴上的应力称为主应力，通常用 和 表示 1 2 （ ＞ ）。
应力场
应力场：受力物体内的每一点都存在与之对应的应力状态，物体 内各点的应力状态在物体占据的空间内组成的总体，称为应力场。
物体内各点的应力状态相同时，组成均匀应力场，否则组成非均 匀应力场。由于上覆岩石压力 （式中， 是岩石密度，g 是重力加速度，h 是距地表的深度）
随深度而变化及地壳岩石的非均匀性，地壳中不存在理想的均匀 应力场。 构造应力场：由构造作用造成的应力场称构造应力场。 地应力：地壳岩石中存在的应力称为地应力。地应力除了构造应 力外，还有非构造应力，如有重力引起的应力，地形引起的应力， 开挖引起的应力，人工载荷引起的应力，等等。
体变和形变使物体内部各质点间的相对位置发生了改变，从而改变了物体 的大小和形状，即引起了物体的应变 (应变是表示物体变形的程度）。
A. 平移 B. 旋转 C. 形变 D.体变
应变：是物体在应力作用下的形状和大小的改变量(有时也包含一定程 度的旋转)，所以应变可理解为是表示物体变形的程度。
地应变：地壳是具有一定弹性的，当作用于它的地应力不超过地壳岩石 的弹性强度时，就产生弹性应变，称为地应变。
应力分量 地壳内一点O的应力可以用下述9个应力分量完全描述：
x
xy y zy
xz yz z
yx zx
由于 xy yx ， zx xz ，yz zy ，一点上的应力只需要用6个分量来描述。
二维应力
如图（a)，过O点作一平面x=0，该面右方质量作用于左方质量单位面积 的力的分量为
应力矢量是与截面联系在一起的，通过地壳岩石中的任一点，可作 出无数个截面，因而存在无数个应力矢量，一个应力矢量不能代表 一点的应力。
应力矢的尾端构成应力椭圆
应力矢的首端构成应力椭圆
一点的应力状态是指某一瞬间作用于物体上的应力情况，即过一点 的所有截面的全部应力矢量，才代表一点的应力状态。
一点的应力
x sin 2 2 xy sin cos y cos 2 y
上面两式相加，得出
x y x y
这就是说，如果两轴旋转了一个角度，虽然 x 和 y 本身都变化了，但 x + y 保持不变。方程（2）式完全描述了一点上的应力随着方向
应力分析基础
1、应力的定义
2、一点的应力 3、主应力、主方向 4、应力场
应力的定义
如图1（a），O是地壳内的一点，在O点上取一确定的方向OP和与之成正 交的面积元A 。 A 朝OP方向的一方面称为正方，反方向的一方称为负 A 正方的质量作用于负方所有的力的合力为 F ，当 A 趋近 方。 于零时， F A 的极限称为P点上通过面积元 A （法线方向是OP）的 应力，以公式表示为： F POP lim （1） A 0 A
非均匀变形
连续变形
源自文库义的
和
无限小应变分析
是如此之小，以至它们的平方与乘积都可以忽视。
二维无限小应变
P S
x u 2
u v u 2 v x 1 x 1 x x x
2
yz平面上；向量 Pox 可以分解为成3个分量 x
它们分别在ox，oy，oz方向上。分量 称为法向应力； xy ， xz 在
, xy
, xz
x
在ox方向上，与
A
正交，
A
的平面上，称为切应力(剪应力）。
若通过一个面的法向应力为正，称为张应力，为负则称为压应力；张应 力将该面正方的质量从负方的质量拉开，压应力使正方的质量向负方的 质量压缩。
u x1 x P S PS u x x PS x x 按无限小应变假设， x 视为无限小， 则上式趋向一个极限
x
u x
同样，可以导出一点在y轴方向的线应变
y
P Q PQ PQ
v y
v y
如前图所示，线段PS和PQ原来是垂直的，∠QPS=90°，形变后角度减小了 a b，这 两线段交角的变化（在此情况下也是两轴交角的变化）的正切，就是切应变，以 xy 或 yx 表示，故
应力的单位及其换算
应力的国际单位为帕斯卡（Pascal），简称帕（Pa），即 N / m 2
。
常见应力单位换算成帕时的系数表
兆 帕 （Mpa） 帕(Pa) 巴(bar) 大 气 压 (atm)
1.013
公斤/cm 2
达因/ cm 2
9.807
5
10
6
10
5
10
10 4
10 1
一点的应力
POP 是一个向量。地壳中的每一点O和通过O的每一方向，都存在一个 向量 POP ，它的作用方式是：如果通过O取一面积为 A 、法线方向 为OP的小平面， A 正方的质量将有一力 POP A 作用于负方的质量
，负方的质量也有一力 POP A 作用于正方的质量。
图1
图1 如图1（b），过O点取一直角坐标系O–xyz，设OP在Ox方向上，则 A 在
2
1
1 2
1 2 sin 2
应力莫尔圆
应力分析中，有一种重要的图解方法， 称为应力莫尔圆，它能完整地代表一点 的应力状态。如图表示—点平面应力状 态的应力莫尔圆，图中，横坐标代表正 应力 ，纵坐标代表剪应力 ，图中
以C点为圆心，以CM为半径的圆上的任 何一点的横坐标与纵坐标就代表了二维 空间中某一截面上的正应力与剪应力。
1 2
如果已知一点上的应力状态，就可立即得出主轴方向和主应力值；再把 主轴取作参考轴，来表达任一方向的应力就简单多了。若一平面的法线 与x轴成角，则通过该平面的法向应力和切应力为：
1 cos 2 sin
2 2
1 2
1 2 1 2 cos 2
J.C. Jaeger, Elasticity, Fracture and Flow: With Engineering and Geological Applications, J.W. Arrowsmish Ltd., Bristal, Great Britain (1969).
x cos 2 2 xy sin cos y sin 2
y x sin cos xy cos 2 sin 2
（2）
若坐标轴ox，oy 旋转了一个角度 ，成为ox′，oy′则相对于ox′， oy′的应力分量 ， 可利用（2）式分别就角度 和(90°+ ) 得 y x 出：
x cos 2 2 xy sin cos y sin 2 x
h gh
古应力场：在地史时期作用的应力场称为古应力场(探讨地壳运动规律， 指导成矿预测等，具有重要作用)。 现今应力场：现今作用的应力场称为现今应力场(对于地震预报分析工作 和工程场地稳定性评价，具有重要的意义)。 应力场的图示：应力场通常采用主应力迹线和主应力等直线、最大剪应 力等直线等来表示，有时也采用主应力矢量图表示。
《地壳形变》
第六章 地壳应力与应变分析（一）
武汉大学 许才军
《地壳形变》
1、绪论 2、地壳形变测量 3、地球参考系与参考框架 4、板块构造学说与活动地块学说 5、地壳运动监测与数据处理 6、地壳应力与应变分析 7、连续形变、应变观测与数据处理 8、地震活动的大地测量研究方法
应力与应变分析 1、变形、应变、应力概念 2、应力分析基础 3、应变分析基础
应变的度量
应变有两种量度：一是一条线的长度变化，二是两条线（或一条线和一平 面）之间的角度变化，分别称为线应变和切（剪）应变。
1、线应变
设 是两相邻点O和P之间的距离，l 是应变后的相应点O′和P′之间的 距离，则线应变定义为
l
l l l
dl l
线应变 dl 的符号为正（伸张）表示张应变 dl 的符号为负（压缩）表示压应变
2、剪应变
变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角的量称为角剪 切应变 或简称角剪应变。其正切称为剪应变
tg
均匀应变与非均匀应变
物体内各点的应变特征相同的应变称为均匀应变。 其特征是：应变前的直线在应变后仍然是直线，一组平行线应变后 仍然互相平行 。
物体内各点的应变特征发生变化的应变称为非均匀应变。 其特征是：与均匀应变相反，直线经应变后不再是直线，而成了曲 线或折线，平行线应变后不再互相平行 。 非均匀应变又可分成连续应变（变形）和不连续应变（变形）：如 果物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，则称为连续应 变（变形）；如果是突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续 应变（变形）。
应力是连续介质力学中一个重要的基本概念。 应力是作用于固体上的外力或使固体发生变形的其它因素在固体中所产生 的内力的度量。 外力和内力 处于地壳中的任何地质体，都会受到相邻介质的作用力。这种研究对象以 外的物体对被研究物体施加的作用力称为外力。由外力作用引起的物体内 部各部分之间的相互作用力称为内力。 外力和内力是一对相对的概念，当研究范围扩大或缩小时，外力可以变为 内力，内力也可以变为外力。例如，当考察一个岩体内的某个矿物颗粒的 受力时，周围颗粒对颗粒的作用力是外力；当研究对象是该岩体时，周围 颗粒与该颗粒的相互作用力变成了内力，而围岩对岩体的作用力是外力； 当研究的对象扩展到该岩体所在板块时，围岩与该岩体之间的相互作用力 又变成了内力，而相邻板块对该板块的作用力是外力。
4、区域地壳运动应变分析
变形、应变、应力概念
变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的位 移，从而使岩石体的初始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常称 为变形。 位移的基本方式可以分为四种：平移、旋转、体变和形变。 平移和旋转是指刚体的平移和旋转，是物体相对于外部坐标作整体的平移 或旋转。这种位移并不引起物体内部各质点间相对位置的变化，因此平移 和旋转不会改变物体的形状。
x
和
xy ；同样，如图（b），过O点作一平面y＝0，通过
该面单位面积的力的分量为 yx 和 y
由于
xy yx
x
，这4个分量中只有3个是独立的 .
若通过O的平面的法线OP与Ox 轴成倾角 ，如图（d），则通过该面的应力分量
，
可以用
，
y
， xy 表示为如下(2)式(J.C.Jaeger,1969) :
用应力迹线和应力等值线表示的应力场 A. 剪应力分布（等值线单位为Mpa） B．主应力迹线 C．最大剪应力迹线
主应力矢量图表示应力场
非连续变形分析方法求得的华北地区主应力分布图
应变分析基础
1、应变的定义
2、应变的度量 3、均匀应变与非均匀应变 4、无限小应变分析 5、二维应变张量
应变的定义
变化的方式。
主应力 、主方向
微分（2）式得
d
d 令其为零可得
2 y x sin cos 2 xy cos 2 sin 2
tg 2 2 xy
x
y
此时法向应力为最大或最小；而此时切应力为零。 上式定义了成正交的两个方向（主方向），在这两方向上，一点上 的法向应力一为最大，一为最小，切应力为零。这两方向构成应力 的主轴，主轴上的应力称为主应力，通常用 和 表示 1 2 （ ＞ ）。
应力场
应力场：受力物体内的每一点都存在与之对应的应力状态，物体 内各点的应力状态在物体占据的空间内组成的总体，称为应力场。
物体内各点的应力状态相同时，组成均匀应力场，否则组成非均 匀应力场。由于上覆岩石压力 （式中， 是岩石密度，g 是重力加速度，h 是距地表的深度）
随深度而变化及地壳岩石的非均匀性，地壳中不存在理想的均匀 应力场。 构造应力场：由构造作用造成的应力场称构造应力场。 地应力：地壳岩石中存在的应力称为地应力。地应力除了构造应 力外，还有非构造应力，如有重力引起的应力，地形引起的应力， 开挖引起的应力，人工载荷引起的应力，等等。
体变和形变使物体内部各质点间的相对位置发生了改变，从而改变了物体 的大小和形状，即引起了物体的应变 (应变是表示物体变形的程度）。
A. 平移 B. 旋转 C. 形变 D.体变
应变：是物体在应力作用下的形状和大小的改变量(有时也包含一定程 度的旋转)，所以应变可理解为是表示物体变形的程度。
地应变：地壳是具有一定弹性的，当作用于它的地应力不超过地壳岩石 的弹性强度时，就产生弹性应变，称为地应变。
应力分量 地壳内一点O的应力可以用下述9个应力分量完全描述：
x
xy y zy
xz yz z
yx zx
由于 xy yx ， zx xz ，yz zy ，一点上的应力只需要用6个分量来描述。
二维应力
如图（a)，过O点作一平面x=0，该面右方质量作用于左方质量单位面积 的力的分量为
应力矢量是与截面联系在一起的，通过地壳岩石中的任一点，可作 出无数个截面，因而存在无数个应力矢量，一个应力矢量不能代表 一点的应力。
应力矢的尾端构成应力椭圆
应力矢的首端构成应力椭圆
一点的应力状态是指某一瞬间作用于物体上的应力情况，即过一点 的所有截面的全部应力矢量，才代表一点的应力状态。
一点的应力
x sin 2 2 xy sin cos y cos 2 y
上面两式相加，得出
x y x y
这就是说，如果两轴旋转了一个角度，虽然 x 和 y 本身都变化了，但 x + y 保持不变。方程（2）式完全描述了一点上的应力随着方向
应力分析基础
1、应力的定义
2、一点的应力 3、主应力、主方向 4、应力场
应力的定义
如图1（a），O是地壳内的一点，在O点上取一确定的方向OP和与之成正 交的面积元A 。 A 朝OP方向的一方面称为正方，反方向的一方称为负 A 正方的质量作用于负方所有的力的合力为 F ，当 A 趋近 方。 于零时， F A 的极限称为P点上通过面积元 A （法线方向是OP）的 应力，以公式表示为： F POP lim （1） A 0 A
非均匀变形
连续变形
源自文库义的
和
无限小应变分析
是如此之小，以至它们的平方与乘积都可以忽视。
二维无限小应变
P S
x u 2
u v u 2 v x 1 x 1 x x x
2
yz平面上；向量 Pox 可以分解为成3个分量 x
它们分别在ox，oy，oz方向上。分量 称为法向应力； xy ， xz 在
, xy
, xz
x
在ox方向上，与
A
正交，
A
的平面上，称为切应力(剪应力）。
若通过一个面的法向应力为正，称为张应力，为负则称为压应力；张应 力将该面正方的质量从负方的质量拉开，压应力使正方的质量向负方的 质量压缩。
u x1 x P S PS u x x PS x x 按无限小应变假设， x 视为无限小， 则上式趋向一个极限
x
u x
同样，可以导出一点在y轴方向的线应变
y
P Q PQ PQ
v y
v y
如前图所示，线段PS和PQ原来是垂直的，∠QPS=90°，形变后角度减小了 a b，这 两线段交角的变化（在此情况下也是两轴交角的变化）的正切，就是切应变，以 xy 或 yx 表示，故
应力的单位及其换算
应力的国际单位为帕斯卡（Pascal），简称帕（Pa），即 N / m 2
。
常见应力单位换算成帕时的系数表
兆 帕 （Mpa） 帕(Pa) 巴(bar) 大 气 压 (atm)
1.013
公斤/cm 2
达因/ cm 2
9.807
5
10
6
10
5
10
10 4
10 1
一点的应力
POP 是一个向量。地壳中的每一点O和通过O的每一方向，都存在一个 向量 POP ，它的作用方式是：如果通过O取一面积为 A 、法线方向 为OP的小平面， A 正方的质量将有一力 POP A 作用于负方的质量
，负方的质量也有一力 POP A 作用于正方的质量。
图1
图1 如图1（b），过O点取一直角坐标系O–xyz，设OP在Ox方向上，则 A 在
2
1
1 2
1 2 sin 2
应力莫尔圆
应力分析中，有一种重要的图解方法， 称为应力莫尔圆，它能完整地代表一点 的应力状态。如图表示—点平面应力状 态的应力莫尔圆，图中，横坐标代表正 应力 ，纵坐标代表剪应力 ，图中
以C点为圆心，以CM为半径的圆上的任 何一点的横坐标与纵坐标就代表了二维 空间中某一截面上的正应力与剪应力。
1 2
如果已知一点上的应力状态，就可立即得出主轴方向和主应力值；再把 主轴取作参考轴，来表达任一方向的应力就简单多了。若一平面的法线 与x轴成角，则通过该平面的法向应力和切应力为：
1 cos 2 sin
2 2
1 2
1 2 1 2 cos 2
J.C. Jaeger, Elasticity, Fracture and Flow: With Engineering and Geological Applications, J.W. Arrowsmish Ltd., Bristal, Great Britain (1969).
x cos 2 2 xy sin cos y sin 2
y x sin cos xy cos 2 sin 2
（2）
若坐标轴ox，oy 旋转了一个角度 ，成为ox′，oy′则相对于ox′， oy′的应力分量 ， 可利用（2）式分别就角度 和(90°+ ) 得 y x 出：
x cos 2 2 xy sin cos y sin 2 x
h gh
古应力场：在地史时期作用的应力场称为古应力场(探讨地壳运动规律， 指导成矿预测等，具有重要作用)。 现今应力场：现今作用的应力场称为现今应力场(对于地震预报分析工作 和工程场地稳定性评价，具有重要的意义)。 应力场的图示：应力场通常采用主应力迹线和主应力等直线、最大剪应 力等直线等来表示，有时也采用主应力矢量图表示。
《地壳形变》
第六章 地壳应力与应变分析（一）
武汉大学 许才军
《地壳形变》
1、绪论 2、地壳形变测量 3、地球参考系与参考框架 4、板块构造学说与活动地块学说 5、地壳运动监测与数据处理 6、地壳应力与应变分析 7、连续形变、应变观测与数据处理 8、地震活动的大地测量研究方法
应力与应变分析 1、变形、应变、应力概念 2、应力分析基础 3、应变分析基础