量子习题解答

（第二空）
光的粒子性例题
例3（ 20届10题）能使某种金属产生光电效应的入
射光最小频率为6.0×1014Hz,此种金属的电子逸出
功为________。若在金属表面上再施加U=3V的反
电压，那么可激起光电流的入射光最小频率为
________。（普郎克常量h=6.63×10-19C)
解：∵ EK=hv-A 当EK=0时，A=hv=3.98×10-19(J) （第一空） 依题意，在金属表面上施加U=3V的反向电压时:
2
2
玻尔磁子
B
e 2me
9.27 1024 J / T
电子自旋磁矩在磁场中的能量 Es B B
10、多电子原子的电子组态 电子的状态用4 个量子数n,l,ml,ms确定。n相同 的状态组成一壳层，可容纳2n2个电子；l相同 的状态组成一次壳层，可容纳2（2l+1)个电子。
基态原子电子组态遵循两个规律：
轨道磁量子数 ml=-l,-(l-1),…,0,1,..,l
9、电子自旋(1926)
电子自旋角动量
S s(s 1) 3, 4
s 1 2
电子自旋在空间某一方向的投影 Sz ms
ms只有1/2（向上）和-1/2（向下）两个值，为 自旋磁量子数。
轨道角动量和电子自旋角动量的合角动量
J L S j( j 1), j l 1 和j l 1
维恩位移定律 ：普朗克公式对v（ ）求导，可
得维恩位移定律，即光谱辐射出射度最大的光频率 或峰值波长为
m CvT Cv 5.8801010 Hz / K
b = 2.898 ×10 - 3m ·K
2、光的粒子性:
爱因斯坦光量子假说（1905）:
E h mc 2 pc
h
m c2
p h h c
1 n2 )
T (m) T (n)
频率条件： h Em En
角动量量子化条件：mvnrn n 2
6、薛定谔方程(1926)（一维）
2 2m
2
x 2
U
i
t
,
(x,t)
定态薛定谔方程（一维） ：
2 2m
2
x 2
U
E ,
( x) eiEt /
7、薛定谔方程举例（一维） 一维无限深势阱中的粒子
(斯忒藩-玻耳兹曼常数 5.670108(m2 • K4 )
维恩常数b=2.898×10-3mK)。
解： 由维恩位移定律 mT b 知
b 2.898103
T
m
465 109
6232(K)
（第一空）
斯忒藩-玻耳兹曼定律为
M 0T 4 5.67010-8 (6232)4
8.552107 W / m2
5、物质波波函数Ψ= Ψ(x,y,z,t):
(1)单值、有限、连续 (2) |Ψ|2为概率密度
(3)
2
dxdydz
1归一化条件.
6、不确定关系：x px
2
(或,或h)
h
2
量子物理概要
1、黑体辐射:
普朗克能量子假说（1900） ：谐振子的能量
只可能是： E =nhv， n = 1, 2 , 3...
波粒二象性概要
1、光的粒子性: E h mc 2 pc
m
h
c2
p h h c
2、光电效应：
1 2
mv
2 max
hν
A 红限频率v0
=A/
h
3、康普顿散射：
X光经散射 波长不变
有两种成分 波长变长 ——康普顿散射
0
h m0c
(1
cos )
(康普顿散 射公式)
4、德布罗意假设： E / h h / p
（1）能量最低原理，即电子总处于可能最 低的能级。一般n越大，l越大，能量就越高。 （2）泡利不相容原理(1921)，不可能有两个 或两个以上的电子处在同一量子状态。即不 能有两个电子具有相同的n, l, ml , ms。
黑体辐射例题
例1 实验测得太阳单色辐出度峰值对应的波长
490 nm 若将太阳当作黑体，估算：
普朗克热辐射公式（1900） ：黑体的光谱辐射
出射度，即在单位时间内从单位表面积发出的频率 在 v附近单位频率区间的电磁波的能量为
M Bv (T )
2v 2
c2
.
hv
hv
e kT 1
或
2hc 2 M B (T ) 5 .
1
hc
e kT 1
斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体对所有频率总的辐 射出射为
s = 5.67×10 - 8 W·m ·K
（1）太阳表面的温度T。
（2）太阳辐出度
。
解：（1）由维恩位移定律得：
2.898×10 _3 490×10 _ 9
5.91×10 3 ( K )
（2）斯特藩-玻耳兹曼定律得：
5.67×10_ 8×(5.91×103 )4
6.92×107 ( W ·m_ 2 )
例2 （19届12题） 对太阳光谱的强度分析，确认 太阳辐射本领的峰值在465nm处。将太阳处理为 黑体，可知太阳表面温度为_________K，单位面 积上辐射功率为_________W/m2,
eU=EK=hv-A
eU A 31.601019 3.981019
v
h
6.63 10 34
1.321015(Hz)
例4 ( 14届12题) 某光电子阴极对于λ1=491nm的 单色光，发射光电子电压为0.71V，当改取波长 为λ2的单色光时，其遇止电压升为1.43V，则 λ2=______.（电子带电绝对值为e=1.6×10-19C，普 朗克常量为h=6.63×10-34J·s）
光电效应（1921）：1
2
mv
2 max
hν
A
红限频率v0 = A / h 康普顿散射（1923）：
0
h m0c
(1
cos
)
4、不确定关系(1927)：
位置动量不确定关系：x px
(或, 或h) 2
能量时间不确定关系：Et / 2
5、氢原子光谱(1913)
h
2
谱线的波数
1 R( m2
谐振子 能量量子化
E (n 1 )hv, 2
n 0,1,2,3...
零点能
1 E0 2 hv
8、氢原子：
氢原子能级：
En 2
me4
1 13.6
2 (40 )2 n2
1 n2
(e V)
轨道角动量 L l(l 1)
轨道角动量沿磁场方向分量：Lz m
主量子数
n=1,2,3…
轨道量子数 l=0,1,2,3…,n-1
本征函数
x 2 sin nx n 1,2,3... 0≤x≤a
aa
0
x<0, x>a
能量量子化
E
22
2ma 2
n2
n2 E1
德布罗意波长量子化
n
2a
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/
n
2
k
类似于经典的两端固定的弦驻波
势垒穿透：微观粒子可以进入其势能（有限的） 大于其总能量的区域，这是由不确定关系决定 的。 在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒 到达另一侧，这种现象又称隧道效应。