第二章 光学谐振腔理论

2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
近轴光线在自由空间的传播
r2 r1 L tan(1 ) r1 L1 2 1 r2 1 L r1 2 0 1 1
P2
P1
2
r2
1
r1
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
光学谐振腔的结构：
在增益介质的两端各加 一块反射镜M1、M2。 其中一块为全反射镜；另 一块为部分反射镜（反射 率接近于1）。
M1
M2
受激光在谐振腔中的放大
放大的条件：光在腔内往返一次时放大的量大于损耗的量 光学谐振腔的作用：延长增益介质作用长度; 控制光束传 播方向; 选频（激光技术部分会讲）
2.1 光学谐振腔概论
1）光波模式
光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内 的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。 腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的 边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来——腔与模的一般联系。
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
傍轴光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换为
0 1 0 1 r5 r1 1 L 1 L r1 A B r1 T 2 2 1 1 0 1 1 C D 1 1 0 1 5 R 1 R2
2.1 光学谐振腔概论
光强反射率：R(1) r12； R(2) r22 ； ri 振幅反射率
(1) (2) ln( R R ) 0 G 2l 全反镜R(1) 1； 部分透射R(2) 1 T
ln(1 T ) G 2l
0
不需要初始从腔外输入微弱场以触发自激振荡。 腔内初始一个光子的微弱自发辐射即可以使激光器振荡。
将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不 同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。
纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的
2.1 光学谐振腔概论
2）增益系数与激光振荡的条件
激活介质的增益系数G ：光波在介质中经过单位长度路程 光强的相对增长率，也代表介质对光波放大能力的大小
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
M 1传输到M 2 : r2 1 L r1 r1 TL 2 0 1 1 1 M 2反射 : 0 r2 r3 1 TR2 3 2 / R2 1 2 M 2传输到M 1 : r3 r4 1 L r3 TL 4 0 1 3 3 M 1反射 : r5 1 2 / R 1 5 0 r4 TR1 1 4 r4 4 r2 2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
用一个二阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。该 矩阵称为光学系统对光线的变换矩阵T。
r2 A B r1 r1 T 2 C D 1 1 A B 变换矩阵T C D
m ,n , p c / k
c
m / a n / b p / l
2 2
2
2.1 光学谐振腔概论
相邻两个模式波矢之间的间距
k x

a
,k y

b
,kz

l
一个模式在波矢空间中占有体积
k x k y kz
模式密度
3
abl V n 8 2 / c3
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
1） 光线变换矩阵
r 腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由矩阵 来表征： r为光线离轴线的距离、 为光线与轴线的夹角。 规定：光线出射方向在腔轴线的上方时， 为正；反之，为负。
当凹面镜向着腔内时，R取正值； 当凸面镜向着腔内时，R取负值。
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l
q
2
q （驻波条件）
2.1 光学谐振腔概论
L l
q
2
q
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式 腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。 光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。
§2.6 非稳腔 掌握共轭像点的计算方法，了解损耗的计算方法。
激光产生的三个前提条件（激光器的基本结构）
激光工作物质：其激活粒子(原子、分子或离子)有适合于 产生受激辐射的能级结构，能够实现粒子数反转，产生受 激光放大 激励源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激 辐射减少的高能级上粒子数，使激光上下能级之间产生集 居数反转 光学谐振腔：使受激辐射的光能够在谐振腔内维持振荡， 提高光能密度

2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
m n p im ,n , p t E x ( x , y , z , t ) E0 sin x sin y cos ze a b l m n p im ,n , p t E y ( x , y , z , t ) E0 cos x sin y sin ze a b l m n p im ,n , p t E z ( x , y , z , t ) E0 sin x cos y sin ze a b l k k x e x k y e y k z ez ,k x m / a ,k y n / b,k z p / l
1 r1 r2 e
2.1 光学谐振腔概论
e
( G 0 ) l / 2 ikl
FP腔输出光场：E E0 t1 t 2 ( G 0 ) l 2 ikl ( G 0 ) l 2 ikl 0 1 r1 r2 e 1 r1 r2 e 自激振荡：E / E0 sin( 2kl ) 0 ( G 0 ) l 1 r1 r2 e [cos( 2kl ) i sin( 2kl )] 0 ( G 0 ) l cos( 2kl ) 0 1 r1 r2 e q c 2kl 2 q(q 0,1, 2, 3, ) k q q l 2l c : 介质中的波速 1 r r e (G 0 ) l 0 G 0 ln( r1 r2 ) 1 2 l l : 腔长 c q （光学正反馈条件） q 2l FP腔能形成自激振荡的条件 ) G 0 ln( r1 r2 （稳定振荡条件） l

3
z方向开放两维矩形谐振腔
n 4 / c2
y方向或x方向限制去掉，一维谐振 腔，F-P结构，模式密度将变为一个 常数——光学谐振腔
2.1 光学谐振腔概论
开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。TEM表示纵向电场为 零的横电磁波，m、n、q为正整数，其中q为纵模指数， m、 n为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。 m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模称作高阶模。
2 1 2 ； 2 2
2
r1 r2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵
r2 r1 1 2 f r1 1 0 1 r2 1 1 2 f
第二章 光学谐振腔理论
本章大纲
§2.1 激光振荡条件 了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。 §2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性 掌握稳定性判别原理和方法。 §2.3 光学谐振腔的损耗 掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。 §2.4 开放谐振腔模式衍射理论 了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。 §2.5 一般球面稳定腔模式
E ( l ) E 0 e
E
( n)
Er r tte
n n (( G 0 ) l / 2 ikl )(2 n 1) 0 1 2 1 2
r 振幅反射率，t振幅透射率
2.1 光学谐振腔概论
E
( n)
Er r tte
n n (( G 0 ) l / 2 ikl )(2 n 1) 0 1 2 1 2
出射的光场E1~En振幅叠加：
E E
n 0

( n)
Er r tte
n 0

n n (2 n 1)(( G 0 ) l / 2 ikl ) 0 2 2 1 2
E0 t1 t 2
e
( G 0 ) l / 2 ikl ( G 0 ) l 2 ikl
一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成 驻波（驻波型谐振腔）。横模与纵模体现了电磁场模式的 两个方面。
2.1 光学谐振腔概论
谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：经腔内往返一周再 回到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数 倍——相长干涉
c c q q q 2 L 2 L q 2 2 L q 2 L q q 2
近轴光线在球面镜上反射的变换矩阵
1 arcsin( r1 / R ) r1 / R 2r1 2 1 R 1 r2 r1 1 r2 2 2 R 0 1 r1 1
I I 0e
Gz
dI 1 dI Gz GI 0e GI G dz I dz
(G0 ) l
考虑损耗： I I0e
为损耗系数
2.1 光学谐振腔概论
I I0e
Байду номын сангаас
( G 0 ) l
I E 2
( G 0 ) l / 2 ikl
1
r1 r2
2
r1 1
P1 P2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2）光线在谐振腔中往返一周变换矩阵
由曲率半径为R1和R2的两个球面镜M1和M2组成的共轴球面 腔，腔长为L，开始时光线从M1面上出发（以M1为参考 ） 向M2方向行进。