复数项级数与复变函数项级数

f(z)为级数(4.2)的和函数,记为f (:z)
fn(z)
n1
集E称为它的收敛域
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
例2 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 3n
由
1 发散知原级数发散.
n1 3n
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:
对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε
lim
n
n
0
推论1 收敛级数的通项必趋于零: (事实上，取p=1,则必有|an+1|<ε)．
an
|
n 1
发散，而级数
an
收
n 1
n 1
敛,原级数称为条件收敛.
定理:
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
事实上，
n
n
n
n
n
n
| ak |( | bk |) | zk | | ak |2 | bk |2 | ak | | bk |
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
例1
第四章 复变函数项级数
第一节 复数项级数与复变函数项级数 1、复数列的极限 2、复数项级数 3、复函数项级数
1. 复数列的极限
定义 设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如任意给定 0,相应地都能找到一个正整
数N( ),使在 n N 时: n 成立,
所以
an a bn b ,
lim
n
n
.
此定理 说明，判别实数列的审敛准则和求实 数列极限方法都可以用来讨论复数列的实部 数列与虚部数列收敛问题。
定理：复数列收敛的Cauchy准则 复数列 {n }(n 1, 2 , ) 收敛的充要条件是:
>0,N >0,当n N时,对p N :
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实数项级数 an , bn 分别收敛于a及b.
注：复数项n级1数的审n1敛问题可转化为实数项级数
的审敛问题
1) an , bn分别收敛于a及bn s( a ib)
n1
n1
n1
2)
an ,
bn至少一个发散
发散
n
例1
n1
级数
n11 n1 2n
(1
i n
)
是否收敛？由 n1
n1
21n发散知原级数发散.
例2
当| | 1时,
级数
级数
n
绝对收敛,且有
n
n0
(8i )n
n0
是否绝对收敛？
1
1
.
解
因为|
(8i) n!
nn|18nn!
n!
，而级数
n1
8n 收敛，故原级数绝对收敛。
n!
(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任
意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
(2)两个绝对收敛的复级数
n1
| n p n |
2. 复数项级数
定义
设{
n
}
{an
ibn
}
(n
1,
2,
)为一复数列,
表达式 n 1 2 n
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn
1
2
n
称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛
推论2 收敛级数的各项必是有界的.
推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.
3. 绝对收敛与条件收敛 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数
| an |收敛.
定义4.2
n若1 级数 | an
|收敛,则原级数 an
称
为绝对收敛;若级数n1 |
那末 记作
称为复数列{n }当 n
lim
n
n
. 此时也称复数
时
列{
的极限,
n } 收敛于
.
复数列收敛的条件
定理 复数列 {n } {an ibn }(n 1, 2 , )
收敛于 a ib 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
证
如果lim n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
n
,
n1 n
可按对角线法得到乘积级数
11 (12 21) (1n 2n1 n1
它收敛于 .
4. 复变函数项级数
定义4.3 设复变函数项级数
f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数
f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复 级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: