计量经济学非线性模型

年份 通货膨胀率 Y(%) 0.6 0.1 0.7 2.3 失业率 X(%) 2.8 2.8 2.5 2.3
计 量 经 济 学
1986 1987 1988 1989
1990
1991 1992 1993
3.1
3.3 1.6 1.3
2.1
2.1 2.2 2.5
1994
1995
0.7
-0.1
2.9
3.2 17
1 X i , 0, Yi b0 Xi
因变量逐渐减小，向下接近其渐近线 计 量 经 济 学 曲线与横坐标有交点 X b1
Y
Yi b0
b0
交点左侧曲线斜率系数大 于交点右侧曲线的斜率系 数
X
b1 b0
X
Yi b0
16
例4.4 菲利普斯曲线
已知某地区通货膨胀率和失业率的数据
Yi b0 b1 X i i
d ln Y dY / Y Y / Y b1 dX dX X
此时斜率系数表明了自变量X的绝对变化引起因变量的相对 变化
22
• 在宏观经济问题中，经济学家也经常关注国民生产 总值诸如此类的经济变量随时间变化增长的问题， 他们经常使用对数线性模型
计 量 经 济 学
t
R 2 0.9831
(27.4856)
ˆ 2584.785 b 1
表明货币供给增加一个百分点，国民生产总值平均增加 2584.785亿元
21
• 2.对数线性模型
ln Yi b0 b1 X i i
令Yi ln Yi

计 量 经 济 学
转换：

则 斜率系数
24
• 3.双对数模型 转换 计 量 经 济 学
ln Yi b0 b1 ln X i i
令Yi ln Yi , X ln X i
Yi b0 b1 X i i
d ln y dy / y y / y b1 d ln x dx / x x / x
Yi b0 b1 X i
i
注意斜率系数 b1
dY dY Y d ln X dX X X / X
斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的绝对变化
19
• 在研究宏观经济问题时， 经济学家对货币供给与国 民生产总值的关系非常感 兴趣，他们经常使用线性 对数模型来研究货币供给 和国民生产总值的关系
在实际分析过程中经常研究两类非线性模型; • 1.被解释变量与解释变量之间非线性，而被解释变量和参 数仍为线性关系； • 如
计 量 经 济 学
b1 Yi b0 i Xi
2.被解释变量和解释变量之间非线性，而被解释变量和 参数之间也是非线性关系 如柯布－道格拉斯生产函数
Y AL K e

i
此时斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的相对变化
25
• 在研究产品的价格弹性和需求弹性时经常使用双对数 模型
咖啡消费量Y (每日每人杯数) 咖啡价格X (每磅美元) 0.77 0.74 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81 1.39 1.2 1.17
26
计 量 经 济 学
计 量 经 济 学
ˆ 14.1767 0.6348 X 0.0130 X 0.00009 X 或 Y i
2
3
t
(13.2837)
(-13.1501)
(15.8968)
R 2 0.9984
7
4.1.2 双曲线模型
一般形式：
计 量 经 济 学
b1 Yi b0 i Xi
7.6040 ˆ Yi 2.2361 Xi
t
(10.1313)
R 2 来自百度文库 0.9362
12
2.b0 0, b1 0
计 量 经 济 学
1 X i , 0, Yi b0 Xi
因变量逐渐增大，向上接近其渐近线
Yi b0
Y
Yi b0
X
b1 b0
X
13
已知某病毒感染率和时间变化相 关的数据如下
• 计 量 经 济 学
使用双曲线函数，利用已知数据进行回归，有下面结果
19.1338 ˆ Yi 6.3190 Xi
t
(6.8799)
R 2 0.8554
18
4.1.3 对数模型
1.线性对数模型
计 量 经 济 学 转换： 则
Yi b0 b1 ln X i i
令X i ln X i
lny
8.0984 8.1835 8.2381 8.2630 8.3312 8.4209 8.5064 8.6280 8.6880 8.7951 8.9138 8.9517 8.9809 9.0636 9.1805 9.2362 9.2991
14 15 16 17 18 19
T
14
• 观察病毒感染率和时间变化的散点图，明显发现它们 呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表 中数据进行回归，有下面结果： 计 量 经 济 学
0 . 4971 ˆ 0.435 Y i Xi
t
(-3.475)
R 0.415
2
15
3.b0 0, b1 0
9
1.b0 0, b1 0
计 量 经 济 学
1 X i , 0, Yi b0 Xi
因变量逐渐减小，向下接近其渐近线
Y
Yi b0
Yi b0
X
10
例4.2 销售额与流通费用率的关系
• 已知某地区百货公司销售额X与流通费用率Y之间的数据
计 量 经 济 学
销售额X (万元) 1.5
1 令Z i Xi
转换：
则模型转换为一元线性回归模型
Yi b0 b1Zi i
8
双曲线模型的特点：
随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线 Yi b0 计 量 经 济 学 即
1 X i , 0, Yi b0 Xi
随着b0 , b1符号的变化，双曲线模型有下面三种形状 :
1997
1998 1999 2000 2001 2002
3166
3405.7 3772.2 4014.9 4240.3 4526.7
1954
2185.2 2363.6 2562.6 2807.7 2901
20
• 利用表中数据，使用线性对数模型，得到下面回归结果
ˆ 16329.21 2584.785 ln X Y i i
Y A L K
Y / Y Y / Y K / K K / K
28
Y / Y Y / Y L / L L / L
y
3289.1800 3581.2600 3782.1700 3877.8600 4151.2500
k
2225.7000 2376.3400 2522.8100 2700.9000 2902.1900 3141.7600 3350.9500 3835.7900 4302.2500 4786.0500 5251.9000 5808.7100 6365.7900 7071.3500 7757.2500 8628.7700 9374.3400
l
3139.0000 3208.0000 3334.0000 3488.0000 3582.0000 3632.0000 3669.0000 3815.0000 3955.0000 4086.0000 4229.0000 4273.0000 4364.0000 4472.0000 4521.0000 4498.0000 4545.0000


1
对非线性回归模型，可以用一定的方法把它们转化为线 性模型，然后利用线性回归的理论和方法来进一步研究 模型的性质。
计 量 经 济 学 对非线性回归模型进行线性化处理主要有三种方法：直接 代换法、间接代换法和泰勒级数法。前两种方法主要针对 可以线性化的模型，而泰勒级数法主要针对不能线性化的 模型。 我们主要介绍直接代换法和间接代换法。
计 量 经 济 学
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
国民生产总值Y 1359.3 1472.8 1598.4 1782.8 1990.5 2249.7 2508.2 2723 3052.6
货币供给X 861 908.5 1023.2 1163.7 1286.7 1389 1500.2 1633.1 1795.5
bk X k i
转换过程： 令Zi X i (i 1,2,k ) 计 量 经 则原多项式模型转换为 Yi b0 b1Z1 b2 Z 2 bk Z k i 济 学 我们就可以用多元线性回归的方法来分析转换后的线性模型。
4
例4.1 产品总成本模型
已知某行业中10家企业的总产量X和总成本的有关资料：
流通费用率Y (%) 7
4.5
7.5 10.2 15.5 16.5 19.5 22.5 25.5
4.8
3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2
11
• 观察商品流通费用率和销售额的散点图，明显发现 它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型， 利用表中数据进行回归，有下面结果：
计 量 经 济 学
t 1 2 3 4 5 6
y 0.12 0.07 0.16 0.11 0.21 0.21 0.25 0.3 0.39 0.33 0.3 0.34 0.49 0.35 0.56 0.62 0.54 0.58 0.57
计 量 经 济 学
Y
.7
7 8 9 10 11 12
.6
.5
.4
.3
.2
13
.1 0.0 0 10 20
t
27
4.2 间接代换法
• 以柯布－道格拉斯生产函数为例 计 量 经 济 学
Y AL K e
函数两端取对数，有
ln Y ln A ln L ln K
设Y ln Y , A ln A, L ln L, K ln K
则转换为二元线性方程
年份 1988 1989 国民生产总值Y 1359.3 1472.8 1598.4 1782.8 1990.5 2249.7 2508.2 2723 3052.6 3166 3405.7 3772.2 4014.9
计 量 经 济 学
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
2001
2002
4240.3
4526.7
23
• 利用表中数据，使用对数线性模型，得到下面回归结果
ˆ 7.1527 0.0888 X ln Y i i
计 量 经 济 学
t
R 0.9299
2
（35.6223）
ˆ 0.0888 表明时间每增加一年，国民生产总值平均增加 b 1
0.0888个百分点，也就是说国民生产总值的年 平均增长率为0.0888%
总成本Y (万元) 总产量X (万吨) 10 20
计 量 经 济 学
19.3 22.6
24
24.4 25.7 26
30
40 50 60
27.4
29.7 35 42
70
80 90 100
绘制总成本和总产量的散 点图，可以看出它们呈现 曲线变化趋势
5
根据经济学中的边际成本的U曲线理论，用产量X的三 次多项式来近似表示总成本函数
2.57 2.5 2.35 2.3 2.25 2.2 2.11 1.94 1.97 2.06 2.02
• 利用表中数据，使用双对数线性模型，得到下面回归结果
ˆ 0.7774 0.2530 ln X ln Y i i
计 (-5.1251) 量 经 R 2 0.7448 济 ˆ 0.2530 表明自变量即咖啡价格增加1%,因变量咖啡 学 b 1 需求量平均减少约－0.25％，也即咖啡的价 格弹性为－0.25%
计 量 经 济 学
Yi b0 b1 X b2 X b3 X i
2 3
令Zi X i (i 1,2,3)
则原模型转换为 Yi b0 b1Z1 b2 Z 2 b3 Z3 i 利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计， 可得到下面的结果
6
ˆ 14.1767 0.6348Z 0.0130Z 0.00009Z Y i 1 2 3
2
4.1 直接代换法
适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被 解释变量与参数线性的非线性模型。
计 量 经 济 学 下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型： 多项式模型、双曲线模型和对数模型。
3
4.1.1 多项式模型
2 Y b b X b X 多项式模型的一般形式： i 0 1 2