实变函数第一章,第二节

可数集的性质（并集）
推论 : 设Ai (i 1,2,.....,n)是有限集或可数集 , 则 Ai 也是有限集或可数集 ,
i 1 n n
但如果至少有一个 Ai 是可数集, 则 Ai 是可数集.
i 1
是可数集, 则 Ai 也是可数集 [th1.2.5] 设Ai (i 1,2,3,......)
说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下).
笛卡尔乘积的定义
A B {(a, b) : a A, b B}
A
i 1

n
i
{( x1 , x2 ,, xn ) : xi Ai , i 1,2,, n}
{( x1 , x2 ,, xn ,) : xi Ai , i 1,2,, n,}
Th1.2.2:A可数当且仅当 A可以排成一个无穷序列{a1, a2, a3, …}
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 例: 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
２ 可数集的性质（子集）
[定理1.2.3] 任何无限集合均含有可数子集 （即可数集是无限集中具有最小势的的集合)
n
1,3,5,7,9,11,13,15,...
2n-1
2,4,6,8,10,12,14,16...
2n
例
2)(1,1) ~ (,)

f : x tan(

2
x)
那么(a, b) ~ (,)是否成立?
ba xa f ( x) tan[ ( x)]或f ( x) tan( ) ba 2 ba 2
n 1 n 1 f f
另外由Bk ~ Ak 1 (k 1, 2,
g

), 可知
k 1
Bk ~
k 1
g

Ak 1
又B ~ A , 所以B \
k 1
*
g
*

Bk ~ A \
k 1

g
*

Ak 1

此处都是关于映射g, 如果不是同一映射, 则不一定成立.

A \ Ak 1 ( A \ A1 ) \ Ak 1 A \ Ak B \ Bk ~ A \ Ak
若A中的每个元素可由n个互相独立的记号一对一地 加以决定,各记号跑遍一个可数集
A {ax1 , x2 , x3 ,...xn } ( xk x , x ,...;k 1,2,...,n),
(1) k ( 2) k
则A为可数集.
证明:构造一一对应
例1.2.4 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的 圆全体A为可数集
证明:
根据题设，存在 A到B*上的一一映射 f ,以及B到A* 上的一一映射 g.
A*
f
*
A
g
B
B
Bernstein定理的证明
令A1 A \ A*
A2 g ( B1 )
令B1 f ( A1 ) B2 f ( A2 )
A3 g ( B2 )
A1
f g f
B3 f ( A3 )
1874年Cantor开始研究无限集的计数问题; 1873年C.埃尔米特证明了e是超越数; 1882年Lindemann证明了π是超越数; 1934年A.O.盖尔丰得证明了若α不是0和1的
代数数，β是无理代数数,则αβ是超越数(此 问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中 的第7问题)。
n n n1 0 i n
P0 ~ Z Pn ~ ( Z {0}) Z Z Z (n个Z 相乘)为可数集(n 1)
由代数基本定理知
（有限个可数集作卡氏积）
n 0
P
任意整系数多项式
Pn为可数集（可数个可数集的并）至多有有限个实根，
从而结论成立.
有关超越数的说明
我们证明了代数数全体是可数集合， 通过后面可知道超越数全体是不可 数集，故超越数比代数数多得多
A

A
~
fλ
B

B
Bernstein定理
设A, B是两个集，若有 A的子集A ，使B ~ A , 及B的子集B ，使A ~ B , 则A ~ B.
* * * *
Bernstein定理的证明
设A, B是两个集，若有 A的子集A*，使B ~ A* , 及B的 子集B *，使A ~ B * , 则A ~ B.
相应于 相应于 相应于
对[0,1]十等分 对[0,1]二等分 对[0,1]三等分
说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数）
不可数集的存在性的证明
证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷
{x1 , x2 ,, xn ,} 序列的形式：

即可数个可数集的并仍为可数集
i 1
A1
A2 A3
a11 , a12 , a13 , a14，
a21 , a22 , a23 , a24， a31 , a32 , a33 , a34， a41 , a42 , a43 , a44，
可数个可数集的并 仍为可数集的证明
A4
,
,
,
，
当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;
例：由 (0,1) [0,1] (,) ~ (0,1) 可知 (0,1) ~ [0,1] 试问如何构造两者间的既单又满的映射。 ，
１可数集的定义
设A是任一集合，若A与自然数集N 对等，则称A为可数集或可列集，其基 数记为 A a
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1 , a2 , a3 , a4 , a 5 , a6 , …
由A3 A* , 知A1与A3不交, 故A1, A2 , A3两两不交
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1 , A2 , A3 ,两两不交, B1 , B2 , B3 ,也两两不交 而且An ~ Bn (n 1,2,), 所以 An ~ Bn
当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；

因此 An是可数集.
n 1
例1.2.3 全体有理数之集Q是可数集
设Ai={1/i,2/i,3/i,4/i,5/i, …},则Ai是可数集，
而Q Ai
i 1
故Q+是可数集
Q ~Q




Q Q {0} Q
所以Q是可数集（可数个可数集的并）
M2={a2, a4, a6, …}
取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可
说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子 集与它有相同多的元素个数
定理
定理7:A为无限集 A可以与其真子集对等
数的进位制简介
第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数
十进制小数
二进制小数
三进制小数
3){去掉一个点的圆周 } ~ (,)
有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
基数的大小比较
1)若A ~ B, 则称A B；
2)若A ~ B0 B, 则称 A B；
若存在单射f : A B, 则A B 特别地: 若A B, 则A B
A
i 1
i
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
有限个可数集 的卡氏积是可 数集
{( x, y) | y B}
xA
x固定x，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
定理1.2.6
第一章 集合
第二节 集合的势、可数集与不可数集
１ 映射的定义
定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f， 对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称 这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射， 记作 f: X→Y
[ ]
注：集合，元素，映射是一相对概念 略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射， 一一映射（双射）
A2
g
A3
A
*
A
f
B
B1
B2
B
*
B3
Bernstein定理的证明
A1
f g f
A2
g
A3
A
*
A
f
B1
B2
B3
B
*
B
由g ( B) A*知A2 g (B1 ) A* , 而A1 A \ A*，故A1与A2不交
从而A1 , A2在f的象B1 , B2不交 B1 , B2在g下的象A2 , A3不交
假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}
[th1.2.4] 可数集的无限子集为可数集,从而可数集合
的任何子集或者是有限集或者是可数集
[th1.2.5] A为可数集, B为有限集或者可数集, 则 A B 为可数集. A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} B={b1, b2, b3, b4, b5, b6, …} 或B={b1, b2, b3，……, bk} A B {a1 , b1 , a2 , b2 ,......,ak , bk , ak 1 ...}
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
A ~ Q Q Q {( x, y, r ) | x, y Q, r Q }
r (x,y)


例1.2.4 代数数全体是可数集
整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。 设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项 式全体 P {a xn a xn1 a | a Z , i 1,2, , n, a 0}
例
1、 定积分运算 a 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子)
2、 集合的特征函数 : X {0,1} A （集合A与特征函数互相决定） 称 A ( x)
b

1 xA 0 xA
为集A的特征函数，
对等与势
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 记作 A ~ B 约定 ~
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
A ( A \ Ak ) ( Ak ) ~ ( B \ Bk ) ( Bk ) B
k 1 k 1 k 1 k 1




Bernstein定理的运用
证明: 若A B C且A ~ C, 则A ~ B ~ C
, , ,
* P42:16. 设A是一个无限集，则存在 A A, 使得
A ~ A, 而A A 是可数集。
* *
假设这是集合A
A\M
从中可以取出可数子集M
M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} 很容易将M一分为二M ,M ，
1 2
使得两个都是可数集
把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）
x1 0.a11a12 a13a14 x2 0.a21a22 a23a24 x3 0.a31a32 a33a34 x4 0.a41a42 a43a44
令x=0.a1a2a3a4…
其中
an {
2 an n1 1 an n1Hale Waihona Puke Baidu
则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。
2)性质 1)自反性：A ~ A; 2)对称性：A ~ B B ~ A; 3)传递性：A ~ B, B ~ C A ~ C ;
注:对等关系是等价关系
注：称与A对等的集合为与A有相同的 势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
例
1) N ~ N奇数 ~ N偶数
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
3)若 A B, 但 A B, 则称 : A B.
注1) 任意两个集合他们地基数都是可以比较大小的,并且他们 间的关系(>,<,=)唯一.
注2)我们称A B为A的基数小于或等于 B的基数
Bernstein定理的证明
引理：设{ A : }， {B : }是两个集族, 是一个 指标集，又 , A ~ B , 而且{ A : }中的集合 两两不交, {B : }中的集合两两不交，那 么：