数理金融初步教学资料

数理金融初步

（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是A 的条件概率是多少？

解：设第一次取出A 的事件为A1，第二次取出不同花色A 的事件为A2,则

p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)

因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/169

7若A,B 独立，证明下列事件也独立：a)A 和B^c b)A^c 和B^c

证明：a)因为p （B ）+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,所以

p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)

-p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),所以A 和B^c 独立

b)p(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-

p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^

c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p(A^c),所以A^c 和B^c 独立。

9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。如果

从152位学生中任意选取一位，记X 为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y 为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。 a)你认为E （X ）和E （Y ）哪一个大？ b)求出E(X)和E(Y)

解：a)E(X)大。b)由题意知X 可取39,33,46,34 。Y 可取39,33,46,34。所以

X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理

p(Y=39)=1/4

P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,

所以E （X ）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697

E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38

10两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相

等，且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。

解：设x 为比赛的总局数，则x 可取2,3，则p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2,

p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2

E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x^2=4,9 , p(x^2=4)=1/2,p(x^2=9)=1/2,E(x^2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以var(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=13/2-(5/2)^2=1/4.

11.证明22])[(][)(X E X E X Var -=

证明：

22222222])[(][])[(])[(2][]])[(][2[])[[()(X E X E X E X E X E X E X XE X E X E X E X Var -=+-=+-=-=

12一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元（输掉则一无

所获）。他估计打赢的概率为0.3，求他收取的费用的均值和方差，如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。

解：a)由题意知

x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000x1=5000,E(x^2)=5000^2x1=25000000,var(x)=E(x^2)-[E(

x)]^2=0,所以s=0. b)由题意知x=0,25000,则p(x=0)=1-0.3=0.7,

p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+

25000x0.3=7500, E(x^2)=0x0.7+(25000)^2x0.3=187500000,var(x)= E(x^2)-

[E(x)]^2=131250000

S=根号下var(x)=11456.439

14.证明：][][][),(y E x E xy E y x Cov -=

证明： )]()()()([)]()(([(),(y E x E x yE y xE xy E y E y x E x E y x Cov +--=--=

][][][][][][][][][][y E x E xy E y E x E y E x E y E x E xy E -=+--=

18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1，且不同时期股票变化是独立的。记X 为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，Y 为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y 相关性。

解：E （X ）=0, E(X^2)=1,var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=1

E(Y)=0,E(Y^2)=3,var(y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=3 E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,0333

1)()(),(),(>===y Var x Var Y X Cov Y X ρ所以X,Y 呈正相关。

（2章）4设x 为正态随机变量，均值为u ，方差为&^2,y=a+bx,如果y 和x 服从相同的分布，求a 和b 的值（a 不等于0），并求出Cov(x,y).

解：因为E(X)=u,var(x)=&^2,y=a+bx,所以E(Y)=a+bu,var(y)=b^2u^2,又因为x 和y 服从相同的分布，所以a+bu=u, &^2=b^2&^2,因为a 不等于0，所以b=-1,a=2u,即y=2u-x, Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&^2.

5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。c)99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。

解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2

u=127.7,&=19.2,所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为

[108.5,146.9]

b)由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围

[89.3,166.1]

c) p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围

[70.1,185.3].

第4章

1若10%的名义利率分别为：a)半年计息一次的复利 b)每季度计息一次的复利 c)连续复利

其对应的有效利率分别是多少？

解：a)reff=(1+r/2)^2-1=10.25% b)reff=(1+r/4)^4-1=10.38% c)e^r-1=10.52

2将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？

解：pe^rt=2p e^10%t=2 t=6.93 需要7年才能变为原来的两倍

3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？如果利率变为4%又要多少年？

解：p(1+r)^n=4p 当r=5%时，（1+0.05)^n=4,n=28.41。当然r=4%，

(1+0.04)^n=4,n=35.35

4如果利率为年复利利率r,请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。