自由曲线

力学背景
P [x(t), y(t), z(t)]
弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线
参数曲线的优点 1. 与坐标系无关； 2. 三个坐标值相互之间没有影响，仅与参数t有关； 3. t=[0,1]，因此曲线是有界的； 4. dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)，避免了垂直的情况求导数
空间自由曲线3次参数方程表示方式
ti
)3
( t )2 ti
t () ti
1
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pi 1 Pi '
5P' i 1
自由曲线
5.2 三次参数样条曲线的几何定义及推导
调和函数的推导
这说明，当曲线的2个端点及其端点切向量已知的话，则参数 方程就可以求出来！
◆不妨令：
F
(t )
t
(
ti
)3
主要内容
内容简介本章主要介绍自由曲线的定义、形成、以及其计算机实现。
自由曲线包括
Hermite曲线 Bezier 曲线 B-spline曲线
5 自由曲线
5.1 自由曲线基础知识
重要意义 1. 在汽车、飞机、轮船等的CAD工作中，复杂曲线与曲面的设
计，是一个主要问题； 2. 复杂曲线曲面：形状复杂、不能用二次方程来描述、、、 3. 例如：汽车车身、飞机机翼、轮船船体、、、
1，根据Gh , 如何求出hermite曲线？计算机实现 2，hermite曲线的特点怎样？
5 自由曲线
5.3 Hermite曲线
Matlab实现
clear t = 0 : 0.001 : 1 T = [ t.^3 ; t.^2 ; t.^1 ; t.^0 ]' Mh = [ 2 -2 1 1 ; -3 3 -2 -1 ; 0 0 1 0 ; 1 0 0 0 ] Gh = [0 0 ; 3 2 ; 1 5 ; 2 2 ] Q = T * Mh * Gh x = Q(:,1) , y = Q(:,2) , plot(x,y)
3, / tt
)3
g
i
1
(t
)
(t
/
tt
)2
(t
/
tt
)3
fi (t)Pi
fi1Pi1
gi (t)Pi'
gi1
(t
)
Pi
' 1
[ fi (t)
f i 1 (t )
gi (t)
Pi
gi1
(t
)]
Pi1
Pi '
Pi
' 1
写成矩阵形式：
2 2 1 1 Pi
Q(t )
t
(
x(t) y(t)
axt 3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt dx cyt dy
z(t) azt3 bzt 2 czt dz
5 自由曲线
5.2 三次参数样条曲线的几何定义及推导
Qi (t) ait3 bit 2 cit di , t [0, ti ]
当t 0时, Qi (t) Pi di , Qi' (t) Pi' ci
则有Q(t) T M h Gh
F(t )
T
M
，称为调和函数
h
5 自由曲线
5.3 Hermite曲线 Hermite曲线的调和函数
2 2 1 1
F (t) t3
t2
t
1
3 0
3 0
2 1 1 0
1
0
0
0
[2 *t3 3*t 2 1, 3* t 2 2 * t3, t3 2 * t 2 t, t3 t 2 ]
( t )2 ti
t () ti
Pi
◆则有：
Q(t )
F (t)
Pi
1
Pi ' P'
i 1
2 2 1 1
1
3
0
1
3 0 0
2 1
1 0
0
0
作用？ 目的？
◆称 F(t) 为调和函数
5 自由曲线
5.3 Hermite曲线 事实上，考虑到参数方程的变量
Hermite曲线
t=[0,1],不妨令ti 1, 这就是hermite曲线，即有
2 2 1 1 Pi
Q(t) t3 t 2 t 1 3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pi 1 Pi ' P'
i 1
2 2 1 1
Pi
令T t3
t2
t
1,Mh
3 0
1
3 0 0
2 1 0
1,
0
0
Gh＝
Pi 1 Pi ' P'
i 1
T t3
t2
t
1 Gh
0, 0
3,
2
1, 5
2
Mh
3 0
2 3 0
1 2 1
1 1
2, 2
0
1
0
0
0
Q(t) T gM h gGh
5 自由曲线
5.3 Hermite曲线
UniGraphics实现
clear syms t T = [ t^3 t^2 t 1 ] Mh = [ 2 -2 1 1 ; -3 3 -2 -1 ; 0 0 1 0 ; 1 0 0 0 ]
自由曲线设计的2类问题
1. 已知离散点→决定曲线
2. 已知自由曲线（可以显示）→需要修改（交互操作）
自由曲线设计的一般方法→研究自由曲线的数学表示方法
1. 拟合：根据给定型值点来构造曲线
2. 插值：求解给定型值点之间曲线上的点的值
3. 逼近：求解给定型值点列连接线相近的曲线
5 自由曲线
5.1 自由曲线基础知识
当t ti时, Qi (t) Pi1 aiti3 bi ti2 citt di ,
Qi' (t)
P' i 1
3aiti2
2bit
ci
ai , bi , ci , di为待定系数，t为参数
ti为Pi1和Pi之间的弦长
百度文库
常数项用端
点以及端点
已知两点的值及其斜率，可 的切向量来 以求出参数方程的系数，请 表示 思考，如何求出？
di Pi ci Pi'
bi
3(Pi1 ti2
Pi )
2 Pi '
ti
P' i 1
ai
Pi '
P' i 1
ti2
2(Pi1 Pi ) ti3
5 自由曲线
5.2 三次参数样条曲线的几何定义及推导
调和函数的推导将ai
,
bi
,
ci
,
d
代入到
i
Qi
(t
)
ait
3
bit
2
cit
di
中，有
Qi (t) [1 3(t / ti )2 2(t / ti )3]Pi [3(t / ti )2 2(t / ti )3]Pi1
[(t / ti ) 2(t / ti )2 (t / ti )3]Pi' [(t / ti )2 (t / ti )3]Pi' 1
则有：Qi (t)
f
i
(t
)
令：gi (t)
fi1(t
1 3(t / tt )2 (t / ti ) 2(t ) 3(t / tt )2
2(t / tt ) / tt )2 (t 2(t / tt )3