点到圆的距离最值及切线

垂径定理及圆心角定理的应用

【教学目标】

1.掌握点到圆上的点的最大及最小距离。

2．掌握切线的性质及判定的具体应用。

【教学重点】

1. 点到圆上的点的最大及最小距离。

2．切线的性质及判定的具体应用。

【教学难点】

1．切线的性质及判定的具体应用。

2．【教学内容】

一．点到圆上的点的最大和最小距离：

1．点P在圆O内时

（1）点P到圆O上的点的最大距离（2）点P到圆O上的点的最小距离

2．点P在圆O外时

（1）点P到圆O上的点的最大距离（2）点P到圆O上的点的最小距离

例题解析：

例1．⨀O的半径为5cm, ⨀O内点P满足OP=3cm，求⨀O上各点到点P的最大距离和最小距离。例2．点P是⨀O外一点，点A是⨀O上任意一点，AP何时最大，何时最小？

过手练习：

1．点P到⨀O上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⨀O的半径为。

2．已知⨀O的半径为4，点P为⨀O内一点，OP=3，则点P到圆上各点的距离的最小值为。3．已知⨀O的半径为6，点A为⨀O外一点，OA=8，则点A到圆上各点的距离的最大值为。4．已知点A到圆上各点的距离的最小值为2，最大值为8，则圆的半径为。

二．切线的综合应用：

知识结累：

1．判定：经过并且这条半径的直线是圆的切线。

2．切线的性质定理: 圆的切线于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过且于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过且于切线的直线必经过圆心

3．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

4．三角形的内心是三角形三条的交点，它到三角形的距离相等。

5．三角形的外心是三角形三条的交点，它到三角形的距离相等。

6．圆的外切四边形对边之和。

7．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角。

如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠BOC=∠BAC

例题解析：

（一）、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．简称：“连半径证垂直

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

过手练习：

1．如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

（二）、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

【例1】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

过手练习：

已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.

求证：CD是⊙O的切线.

当堂检测：

1．如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

2．如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

课后作业：

1．如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

2．已知：如图，AB是⨀O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的切线，AD⊥EF于点D，求证：（1）∠BAC=∠CAD

（2）若∠B=30°，AB=12，求弧AC的长．