广义积分的审敛法、伽玛函数

绝对收敛的广义积分
∫a
+∞
f ( x )dx
∫
+∞
a
f ( x )dx 必定收敛．
例5 判别广义积分
∫
+∞
0
e − ax sin bxdx (a , b 都是 , 而 ∫ e − ax dx 收敛 .
0
+∞
常数a > 0) 的收敛性 .
解 ∵e
∴∫
2010-1-4
− ax
sin bx ≤ e
Hale Waihona Puke Baidu
− ax
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+∞
+∞
例１ 判别广义积分 解 ∵0 <
1
∫
+∞
1
3
dx 的收敛性 . 4 x +1 4 p = > 1, 3
3
1 1 < 3 4 = 4/ 3 , 4 x x +1 x
根据比较审敛法１，
广义积分 ∫
P268 T1(2)
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arctan x dx 的收敛性 . 例４ 判别广义积分 ∫1 x arctan x π x = lim arctan x = , 解 xlim → +∞ x → +∞ x 2
+∞
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
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定理5 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 如果 ∫
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
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定理 2 (比较审敛原理 ) 设函数 f ( x )、g ( x ) 在 区间[a ,+∞ ) 上连续，如果 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) (a ≤ x < +∞ ), 并且 ∫ g ( x )dx 收敛，则 ∫ f ( x )dx
+∞
0
e − ax sin bx dx 收敛 . 所以所给广义积分收敛.
广义积分的审敛法、伽玛函数(20) 10
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, lim f ( x ) = +∞ .如果存在
+∞ a
且∫
+∞
a
g ( x )dx发散 , 则 ∫
+∞ a
f ( x )dx 必定发散 .
+∞ a
∵若 ∫
注意:
则∫ f ( x )dx 收敛，
g ( x )dx 也收敛，
矛盾．
广义积分
∫
+∞
a
⎧当 p > 1 时收敛； dx ( a > 0 )⎨ p x ⎩当 P ≤ 1 时发散．
广义积分 ∫
2010-1-4
2010-1-4
∫
b
a
f ( x )dx 发散 .
广义积分的审敛法、伽玛函数(20) 11
定理７ (极限审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, lim f ( x ) = +∞ .
x →a + 0
如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim ( x − a )q f ( x )
a
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b
例6
判别广义积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
解 ∵ 被积函数在点 x = 1 的左邻域内无界． 由洛必达法则知
1 1 = lim = 1 > 0, lim ( x − 1) x →1+ 0 ln x x →1+ 0 1 x 根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
−x s −1 s +1 x ( 2) ∵ lim x 2 ⋅ (e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
根据极限审敛法 1, I 2 也收敛 .
Γ( s )
由 (1), ( 2) 知
∫
+∞
0
e x dx 对 s > 0 均收敛 .
o
广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
x →a + 0
M 常数 M > 0 及 q < 1，使得 f ( x ) ≤ (a < x q ( x − a) ≤ b ), 则广义积分
∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果存在常数
N N > 0 及 q ≥ 1，使得 f ( x ) ≥ (a < x ≤ b ), q ( x − a) 则广义积分
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 且 f ( x ) ≥ 0．若函数 F ( x ) = ∫ f ( t )dt
a x
在 [a ,+∞ ) 上有界，则广义积分
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛．
= lim x→1−
dx (1 + x)(1 − k 2 x 2 )
=
1 2(1 − k 2 )
,
根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
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1 sin 1 x dx 的收敛性 . 例8 判别广义积分 ∫ 0 x 1 sin 1 dx 1 x ≤ ,而 ∫ 收敛， 解 ∵ ０ x x x 1 sin 1 x dx 收敛， 根据比较审敛原理, ∫0 x 1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 ∫ 0 x
+∞
1
3
dx 收敛 . 4 x +1
定理4 (极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1， 使得 lim x f ( x ) 存在，则 ∫ f ( x )dx 收敛；
p x → +∞ a +∞
a
+∞
∴ ∫ f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫ f ( x ) dx ,
a a a
b
b
b
即
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∫
+∞
a
f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫
a
+∞
+∞
a
f ( x ) dx .
收敛.
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广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
定义 满足定理 5条件的广义积分 称为绝对收敛 .
1
0
I 2 = ∫ e − x x s −1dx ,
1
+∞
(1) 当 s ≥ 1 时, I1 是正常积分; 当 0 < s < 1 时,
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1 1 1 ∵ e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
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三、Γ − 函数
定义 Γ( s ) = ∫ e − x x s −1dx ( s > 0)
0
+∞
特点: 1. 积分区间为无穷;
2. 当 s − 1 < 0 时被积函数在点 x = 0 的 右邻域内无界 .
设 I1 = ∫ e x dx ,
−x s −1
如果 lim xf ( x ) = d > 0 (或 lim xf ( x ) = +∞ ), 则
x → +∞ x → +∞
∫
+∞
a
f ( x )dx 发散．
例２ 判别广义积分
2
∫
+∞
1
dx 的收敛性 . 2 x 1+ x
1 = 1, 所给广义积分收敛． 解 ∵ lim x ⋅ 2 x → +∞ x 1+ x
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四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１
极限审敛法１ 比较审敛法２
极限审敛法２
绝
对
收
敛
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广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
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−x
s −1
s
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Γ －函数的几个重要性质：
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0). ２．当 s → +0 时， Γ( s ) → +∞ .
3 ．余元公式 Γ ( s )Γ (1 − s ) = 特别地 1 Γ( ) = π . 2
+∞ 0 +∞
π
sin πs
P268 T1(7)
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例7 判别椭圆积分 ∫
1
dx (1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 )
0
(k 2 < 1)的收敛性.
解 这里 x = 1 是被积函数的瑕点．由 于 1 dx 2 由于 lim x →1− (1 − x) 2 2 2 (1 − x )(1 − k x )
a
收敛，得
b a
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
a a
3
b
+∞
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即 F (b ) = ∫ f ( x )dx 在 [a ,+∞ ) 上有上界．
广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
由定理１知
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛． 如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ),
(0 < s < 1).
４．在 Γ( s ) = ∫ e − x x s −1dx 中，作代换 x = u 2， 有 Γ( s ) = 2 ∫ e
0 −u 2
u 2 s −1du.
+∞ 1+ t 1 1+ t −u 2 t 再令2 s − 1 = t 或 s = , 即有∫ e u du = Γ( ) (t > -1). 0 2 2 2
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P268 T1(1)
广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
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x3/ 2 dx 的收敛性 . 例３ 判别广义积分 ∫1 2 1+ x x3/ 2 x2 x = +∞ , x = lim 解 ∵ xlim 2 2 → +∞ 1 + x x → +∞ 1 + x
+∞
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
+∞ a
f ( x ) dx 收敛；则 ∫ f ( x )dx 也收敛．
a
+∞
1 证 令 ϕ ( x ) = ( f ( x ) + f ( x ) ). 2 +∞ ∵ ϕ ( x ) ≥ 0，且 ϕ ( x ) ≤ f ( x ) , ∫ f ( x )dx 收敛 ,
a
∴ ∫ ϕ ( x )dx 也收敛 . 但 f ( x ) = 2ϕ ( x ) − f ( x ) ,
b
0
⎧当 q < 1 时收敛； dx ( a > 0) ⎨ q x ⎩当 q ≥ 1 时发散．
4
广义积分的审敛法、伽玛函数(20)
定理3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果 M 存在常数 M > 0 及 p > 1，使得 f ( x ) ≤ p x (a ≤ x < +∞ ), 则 ∫a f ( x )dx收敛；如果存在 N 常数 N > 0 ，使得 f ( x ) ≥ (a ≤ x < +∞ )， x 则 ∫a f ( x )dx 发散．
x →a + 0
存在, 则广义积分
∫
b
a
f ( x )dx 收敛；
q x →a + 0
如果存在常数 q ≥ 1，使得 lim ( x − a ) f ( x ) = d > 0 (或 lim ( x − a )q f ( x ) = +∞ ), 则广义积
x →a + 0
分 ∫ f ( x )dx 发散．
a a +∞ +∞
也收敛；如果 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) (a ≤ x < +∞ ), 并 且 ∫ g ( x )dx 发散，则 ∫ f ( x )dx 也发散．
a a +∞ +∞
+∞
证 设 a < b < +∞ ，由 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )及 ∫ g ( x )dx