高中数学反函数和反三角函数(最新)

(1) arccos1 __0____(2) arccos(1) ______
(3)
arccos
0
___2___(4)
arccos
1 2
__3____
2 (5) arccos( 1) __3____(6) arccos
2
2 2
__4______
(7) arccos(
2 2
)
3 __4______(8)
19
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arccos 1
对
23
(2) arccos 1
32
错 1
3
(3) arccos 0 2k (k Z ) 错
2
(4) arccos( ) arccos
3
3
错
1
3
总结 y arccos x, x [1,1]
y [0，π]。 20
arccos
3 2
_6_____
3 5
(9) arccos( 2 ) __6______
18
（4）已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区 间[0，π]上的角才能 用反余弦表示
2
y cos x, x [0, ]
a
F
π
-2
x x O
E1
1
2
x2
x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
理解和掌握arcsin a( a 1) 符号
① arcsin a 表示一个角
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
9
（2）反正弦函数 y arcsin x, x [1,1]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22 ③单调性: 是增函数。
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
正切函数 y tan x(x k , k z) 有反函数吗？
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
2
2
正切函数 y tan x, x ( , ) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 21
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
2
错
arcsin 1
2
(4) arcsin( ) arcsin
3
3
错
1
3
总结 y arcsin x, x [1,1]
y [ , ]
22
13
余弦函数 y cos x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · -2
-
o
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
21
0.5
2 -1
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-3
-2
-1
o
-0.5
1
1
2 2
x 3
-1
-1.5
y x -2
2
10
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1)
arcsin1
__2____(2)
arcsin(1)
___2___
(3)
arcsin
0.5
-4
-3
-2
-1
2
-0.5
-1
y arctan x, x R, y ( , ) 22
-1.5
-2
2
-2.5
-3
yx
1
2
2
3
4
24
（3）熟记特殊值的反正切函数值
(1) arctan1 ___4___(2) arctan(1) ____4__
(3) arctan 0 __0____(4) arctan
3 __3____
(5) arctan(
3) ___3___(6) arctan
3 3
___6_____
(7) arctan(
3 3
)
____6____
25
4.反余切函数（类似前三种函数的理论）
y arc cot x, x (0,)
26
5
27
6.
28
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
1
一、反函数
2
3
4
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x 2.反余弦函数 arccos x 3.反正切函数 arctan x 4.反余切函数 arc cot x
5
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
· · · ·x
2 3
4
-1
余弦函数 y cos x(x [0, ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。 14
2.反余弦函数
（1）定义：余弦函数 y cos x(x [0, ]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 x arccos y (本义反函数)
习惯记作y arccos x (矫正反函数)
0
__0____(4)
arcsin
1 2
___6___
(5)
arcsin(
1
)
___6___(6)
arcsin
2Hale Waihona Puke Baidu
2 2
__4______
(7) arcsin(
2 2
)
___4_____(8)
arcsin
3 2
__3____
(9) arcsin(
3 2
)
___3_____
11
只有正弦（函4）数主已值知区三间角函[数值,求 角] 上的角才能用
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数 y sin x(x [ , ]) 的反函数
22
叫反正弦函数，记作 x arcsin y
习惯记作 y arcsin x
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a,
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
8
22
6
正弦函数 y sin x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 7
y
tan
x(x (
2
,
) 2
的反函数
叫反正切函数，记作 x arctan y (本义反函数)
习惯记作y arctan x (矫正反函数)
x R, y ( , )
22
若x a R,有y arctan a,
这里的“ arctana ”是一个角的符号.
22
理解和掌握 arctan a(a R) 符号
x [1,1], y [0, ]
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
15
理解和掌握arccos( a 1) 符号
① arccos a 表示一个角
②这个角的范围是 0,
即arccos 0, .
16
（2）反余弦函数 y arccos x, x [1,1] 的图 象与性质
① arctan a 表示一个角
②这个角的范围是 ( , )
22
即arctan a ( , ).
22
23
（2）反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质
①定义域R
②值域: ( , )
22
③单调性:
是增函数
y tan x, x ( , )
22 yR
3
2.5
2
2
1.5
1
④奇函数 ⑤有界函数
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
y sin x, x [ , ] 22
-2
arcsina
12
例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arcsin 3
23 (2) arcsin 3
32
对 错 1
3
(3) arcsin1 2k (k Z )
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗？
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
正切函数y=tanx在 ( , )上有反函数吗？
①定义域： [-1，1]。
②值域: [0，π]。
③单调性:
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
是减函数。
2
1.5
1
④有界函数
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
-1
y=cosx,x∈[0，π]
yx
y∈[-1，1]
17
（3）熟记特殊值的反正弦函数值