第一章--非线性振动初步

第一章非线性振动初步

一、教学目标

1、理解无阻尼单摆的相图；

2、能分析出阻尼单摆的相图；

3、了解杜芬方程、范德玻耳方程；

4、掌握线性单摆的受迫振动；

5、了解杜芬方程的受迫振动。

6、了解庞加莱映射。

二、教学重点

1、阻尼单摆的相图

2、杜芬方程

三、教学难点

杜芬方程、范德玻耳方程

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

在学习本章之前应复习《力学》中有关谐振子、单摆、共振的内容。

六、教学过程

一、无阻尼单摆的自由振荡

1、小角度无阻尼单摆 椭圆点

单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。

我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。

图1-1 数学摆

首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：

ml d dt mg 22θθ=-sin (1-1-1)

式中θ为摆角，g 为重力加速度。将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：

0sin 22=+θθl g dt d

设 l g /0=ω，它是以单位时间的弧度为单位的角频率0ω，则式(1-1-1)可写为：

0sin 2022=+θωθdt d (1-1-2)

由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。用级数展开正弦函数：

+-+-=!7!5!3sin 7

53x x x x x (1-1-3)

如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即x x ≈sin 。这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：

02022=+θωθdt d (1-1-4)

方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：

t e λθ=

式中为常数。代入方程(1-1-4)并消去因子t

e λ后得特征方程： 0202=+ωλ (1-1-5)

方程(1-1-5)的特征根为：

2,1ωλi ±=

由此得到方程(1-1-4)的通解为： t i t i e C e C t 0

021)(ωωθ-+= (1-1-6) 式中1C ，2C 为复常数。

由于描述单摆振动的)(t θ应为实函数，所以常数1C ，2C 必须满足条件：

t i t i t i t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+

于是得条件：*21C C =，*12C C =。将满足这样条件的系数1C ，2C 写成指数形式：

ϕi e P C )2/(1=，ϕi e P C -=)2/(2

其中P 为它们的模，ϕ为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：

)cos())(2/()(0)()(0

0ϕωθϕωϕω+=+=+-+t P e e P t t i t i (1-1-7) )cos()(0ϕωθ+=t P t

(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为0ω的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小

的定义可知，它只与时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。由0

摆线l得长度有关，与摆锤质量为m无关，它被称为单摆的固有角频率。实际上简谐振

动是一切线性振动系统的共同特征，它们都以自己的固有角频率作正弦振动。例如：线

性弹簧上的振子、

LC 振荡回路中的电流、微波与光学谐振腔中的电磁场以及电子围绕原子核运动等等，都可以近似地用一定固有角频率的简谐振动来描述。

式(1-1-7)是以振动的时间波形来描述系统的振荡状态，这是一种最常用的表示振动的方法，但不是唯一的方法。例如，我们可以对方程(1-1-4)进行一次积分，并为简单起见，选择时间标度使10=ω，则有

E dt d =+⎪⎭⎫ ⎝⎛22

2121θθ (1-1-8) 式中E 为积分常数，由初始条件决定。如果把 θ

和θ看作为两个变量，则方程(1-1-8)是一个圆周方程，在以 θ和θ为轴的直角坐标的平面上，方程(1-1-8)是一个半径为E

2的圆，振动过程以一个代表点沿圆周转动来表示，如图1-2所示。

图1-2小摆角单摆的相图

如果我们不采用10=ω，那么方程(1-1-8)应该变成：

E dt d =+⎪⎭⎫ ⎝⎛2202

2121θωθ (1-1-9) 于是，我们得到一个椭圆表达式。所以在以 θ

和θ为轴坐标的平面上，方程(1-1-9)表示了一个椭圆。

用 θ和θ为轴坐标定义的平面称为相平面，“相”的英文字是“Phase ”，意为状态，因此相图即为状态图。在相平面上表示系统运动状态的方法称为相平面法。相图上的每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统的运动状态则用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。还可以形象地认为，相空间内的相点想象成一

种流体中的质点，相点的运动构成一种相流，因此相轨线是不会相交的。相流可以用平常处理流体运动的连续性方程去描述。用相空间里的轨线来表示系统的运动状态的方法是法国伟大数学家庞加莱