积分第一中值定理及其推广证明

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积分第一中值定理及其推广证明

2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理:

如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,()g x 在(,)a b 上不变号,并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的,则在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得

()()()(),()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰

成立。 证明如下:

由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号,我们不妨假设()0g x ≥,并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ,即()m f x M ≤≤,我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出,此时对于任意的[,]x a b ∈都会有

()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤

成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分,可以得到

()()()()b

b

b

a

a

a

m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰。

此时在,m M 之间必存在数值μ,使得m M μ≤≤,即有

()()()b

b

a

a

f x

g x dx g x dx μ=⎰

成立。

由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的,则在[,]a b 上必定存在一点ξ,使()f ξμ=成立。此时即可得到

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰,

命题得证。

2.2积分第一中值定理的推广

定理:(推广的第一积分中值定理)若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数,

()g x 在[,]a b 上可积且不变号,那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ,使得

()()()(),(,)b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰

(2).如果()0b

a

g x dx >⎰,将(2.2.1)除以()b

a

g x dx ⎰可得

()()()b

a

b

a

f x

g x dx

m M g x dx

≤⎰⎰

,(2.2.2)

我们记

()()()b

a

b

a

f x

g x dx

g x dx

μ=

⎰⎰

,(2.2.3)

此时我们又分两种情形继续进行讨论:

(Ⅰ)如果(2.2.2)式中的等号不成立,即有()()()b

a

b

a

f x

g x dx

m M g x dx

<

<⎰⎰

成立,

则此时一定就存在m M μ<<,可以使得

12(),()m f x f x M μμ<≤<≤,

我们不妨假设12x x <,这其中12,[,]x x a b ∈。因为()()F x f x '=,[,]x a b ∈,则会有

1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=。

此时至少存在一点12(,)x x ξ∈,使得()()F f ξξμ'==,即有

12()()()(),(,)[,]b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰

成立,从而结论成立。

(Ⅱ)如果(2.2.2)式中仅有一个等号成立时,我们不妨假设M μ=,因为()0b

a g x dx >⎰,此时一定存在区间11[,](,)a

b a b ∈(其中11a b <),使得11[,]x a b ∀∈,

恒有()0g x >成立,我们可以将(2.2.3)式进行简化

()()()b b

a

a

g x dx f x g x dx μ⋅=⎰⎰,

因为M μ=,则有

[()]()0b

a

M f x g x dx -=⎰

(2.2.4)

而且我们已知[()]()0M f x g x -≥,则

1

1

0[()]()[()]0x b

y a

M f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰。

于是

1

1

[()]()0x y M f x g x dx -=⎰

(2.2.5)

在式子(2.2.5)下必定存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂,使得()f M ξμ==。

如果不存在一个11[,](,)a b a b ξ∈⊂,使得()f M ξμ==,则在闭区间11[,]x y 上必定有()0M f x ->及()0g x >成立,从而使得[()]()0M f x g x ->。

如果1

1[()]()0b a M f x g x dx -=⎰,由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -:,

这与[()]()0M f x g x ->矛盾。

如果 1

1[()]()0b a M f x g x dx ->⎰,这与(2.2.5)式矛盾。所以存在[,]a b ξ∈,

使()()()(),(,)b b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰,定理证毕。

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