大学物理力学：6 质心参照系

rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
i
0
m
mi
riO
riC
c
o
rCO
也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，
质心系是零动量参照系。
3
为了方便书写下面作以下符号代换：
L系 rCO
mi riO
i
;
m
rC
mi ri
i
;不代撇
m
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
c
i
每一个位矢 riO ，动量可写为 mi viO： o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO mi viC mi vCO (2)
2
riC、viC表示的第i个质点相对于质心C的位 矢和速度。
因在为 质质 心心 系相 中对 质于 心质的心速的度位也矢恒恒为为零零vC，C 即0 rCC 0, 所以
1
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组成的质点系 ，每个质点相对于任一点O的位置 矢量分别为 r1O,r2O ......rnO；其质心相对于O点的
定义为：
mi riO
rCO
i
m
;
其中m为质心系的总质量，m mi
mi
riO
riC
相对速度间的关系
v1
v1' vC
v
2
v2' vC
u
v12
v1
v2
v1'
质心系是零动量参照系 m1v'1m2
v'1
m2 m1 m2
u
v'2
v
2
'
v2'
v'2 0 v'1
m1
u
m1 m2
v1'u
m2 m1
v'2
相对质心的动能：
ri 'Fi
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
7
M
MC
rC
F外
L
LC
rC
(m1
m2 )vC
M
dL
dt
dL dt
dLC dt
drC dt
(m1 m2 )vC
rC
dpC
dt
drC dt
(m1
MC rC
m2 )vC
F外
dLC dt
的全部质量都集中在质心上一样。
L LC rC (m1 m2 )vC
6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
r1
F1
r2
F2
ri
ri 'rC
M
r1'F 1
r2
'F2
rC (F1
F2 )
M MC rC F外
MC
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC '
i
mi vi ' 0 代撇
m
4
6.2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在L系中质点m1、m2及其 质心的速度分别为 v1、v 2、vC
在C系中质点m1、m2及其
m1(
v'1
vC
)2
1 2
m2
(
v'2
v
C
)2
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
1 2
(m1
m2 )vC2
(m1v'1 m2 v'2
)
vC
r 'C
m1r '1m2r '2
m1r'1m1m2mr'22
0
0
r'C
m1r'1 m2r'2 m1 m2
为零 0
Ek
1 2
m1v'12
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。12
例1：求两个质点系统相对于质心的动能与
L
（(r1m'1rp11'mr22'r2p)2'）vC
rC
(
p1'
p2
'）
(
p1'
p2
'）
0
质心系是零动量参照系
（m1r1
m2r2 )vC
rC
(m1
m2 )vC
L LC rC (m1 m2 )vC
质心定义
相对质心的角动量 内部角动量
相对L系的角动量 外部角动量
6
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
第三章 动力学
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系 6.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 6.4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系 例1折合质量、例2、例3.24
作业 3-12，3-22，3-24
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
以上证明具有普遍性。
8
*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，
合外 力矩为：
M外 ri mi g
mi ri g rC mg
i
i
上式表明，重力的合力矩与系统的全部 质量集中在质心上所受到的力矩等价。
质 心的速度分别为v1、' v2、'
vC' 0
x
L
r1
p1
r2
p2
p1 m1v1 m1v1'm1vC
p2 m2v2 m2v2'm2vC
z'
z m1
rC
x'
O
r1
'
C r2 '
m2
y'
y
5
来自百度文库
L (r1'rC ) ( p1'm1vC ) (r2'rC ) ( p2'm2vC )
若取质心为参考点，则有rC ' 0，即重力对质心
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
9
6.4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相 对于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在L系中质点m1、m2及其 质心的速度分别为 v1、v2、vC
在C系中质点m1、m2及其 质 心的速度分别为 v1'、v2'、 x vC' 0
在L系中： v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1
'
C r2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
10
在L系中：
v1
v1' vC
v2 v2' vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
1 2
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2
v'22
质点系相对于质心系 的动能叫做内动能。
11
在L系中： Ek Ek内
i
1 2
mi
v
2 C
相对于质心的 内部运动
质心的平动运动
*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等
于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。