平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 PPT
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4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
来自百度文库
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
| a |2 | b |2 13 20 7
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： AB 1,1 AC 3,3 BC 4,2
AB AC 3 3 0
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
想一想： 还有其他解法吗？
复习：数量积（内积）
b在a方向 上的投影
B
b
O
B1 a A
OB1 | b | cos | a |
记作a b
即 a b | a || b | cos 叫a与b数量积
(两种错写)ab, a b （也叫内积）
一、平面向量数量积的坐标表示:
i i 1
y
j j 1
b
a
i j 0
j
oi
x
设:a (x1, y1),b (x2, y2)
则:a x1i y1 j, b x2i y2 j
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a 0,b 0
a x1i y1 j, b x2i y2 j
a b (x1i y1 j)(x2i y2 j)
2
2
x1x2i x1y2i j x2 y1i j y1y2 j
设a x1, y1 ,b x2, y2 , a与b夹角为，0
cos a b x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 . x22 y22
例1:1已知a (3, 1),b (1, 2),
求a b，| a | | b |，a与b的夹角.
解 a b x1x2 y1y2 5
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)=-7 所以k= 1 3
(2)由向量垂直条件得7(k－2)－3=0 所以k= 17
7
小结
1.a b x1x2 y1y2 2. AB x2 x1 2 y2 y1 2
3.a b x1x2 y1y2 0
| a | | b | x12 y12 . x22 y22 5 2
cos a b 5 2
| a || b | 5 2 2
4
2 已知a 2,3,b 2, 4,
则a ba b .
法一：a b (0, 7), a b (4, 1) （a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
2
2
i 1, i j 0, j 1
a b x1x2 y1y2
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：设a (x, y),
则 a 2 a a x2 y2 , 或 a x2 y2
2设A x1, y1、Bx2, y2 , 则AB x2 x1, y2 y1
AB 2, AC 3 2, BC 2 5
例3:已知a (4,3),求与a垂直的单位向量b
解:设所求向量为(x, y), 则
4x 3y 0
x2
y2
1
yx534或xy453
5 5
b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
例4:已知 a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数时， 向量k a－ b与a +3 b(1)平行；(2)垂直
AB x2 x1 2 y2 y1 2
三、向量垂直和平行的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2, y2 (a 0,b 0)
(1)垂直: a b a b 0
x1x2 y1 y2 0
(2)平行: a / /b b a
x1 y2 x2 y1
四、向量夹角公式的坐标表示:
x12 y12 . x22 y22
来自百度文库
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
| a |2 | b |2 13 20 7
例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： AB 1,1 AC 3,3 BC 4,2
AB AC 3 3 0
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
想一想： 还有其他解法吗？
复习：数量积（内积）
b在a方向 上的投影
B
b
O
B1 a A
OB1 | b | cos | a |
记作a b
即 a b | a || b | cos 叫a与b数量积
(两种错写)ab, a b （也叫内积）
一、平面向量数量积的坐标表示:
i i 1
y
j j 1
b
a
i j 0
j
oi
x
设:a (x1, y1),b (x2, y2)
则:a x1i y1 j, b x2i y2 j
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a 0,b 0
a x1i y1 j, b x2i y2 j
a b (x1i y1 j)(x2i y2 j)
2
2
x1x2i x1y2i j x2 y1i j y1y2 j
设a x1, y1 ,b x2, y2 , a与b夹角为，0
cos a b x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 . x22 y22
例1:1已知a (3, 1),b (1, 2),
求a b，| a | | b |，a与b的夹角.
解 a b x1x2 y1y2 5
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)=-7 所以k= 1 3
(2)由向量垂直条件得7(k－2)－3=0 所以k= 17
7
小结
1.a b x1x2 y1y2 2. AB x2 x1 2 y2 y1 2
3.a b x1x2 y1y2 0
| a | | b | x12 y12 . x22 y22 5 2
cos a b 5 2
| a || b | 5 2 2
4
2 已知a 2,3,b 2, 4,
则a ba b .
法一：a b (0, 7), a b (4, 1) （a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
2
2
i 1, i j 0, j 1
a b x1x2 y1y2
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：设a (x, y),
则 a 2 a a x2 y2 , 或 a x2 y2
2设A x1, y1、Bx2, y2 , 则AB x2 x1, y2 y1
AB 2, AC 3 2, BC 2 5
例3:已知a (4,3),求与a垂直的单位向量b
解:设所求向量为(x, y), 则
4x 3y 0
x2
y2
1
yx534或xy453
5 5
b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
例4:已知 a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数时， 向量k a－ b与a +3 b(1)平行；(2)垂直
AB x2 x1 2 y2 y1 2
三、向量垂直和平行的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2, y2 (a 0,b 0)
(1)垂直: a b a b 0
x1x2 y1 y2 0
(2)平行: a / /b b a
x1 y2 x2 y1
四、向量夹角公式的坐标表示: