平面应力问题

平面应力问题平面应力问题

平面域A内的基本方程:

平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）

物理方程（在A内）

⎫即: σ=E(ε+με)xxy⎫2

1-μ ⎫⎫ Eσy=(ε+με)⎫yx 1-μ2⎫

⎫Eτ=γ xyxy

2(1+μ)S上边界条件:

应力边界条件在σ上）

⎫∂σx∂τyx +=0,⎫

∂x∂y⎫

⎫常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解∂σy∂τxy +=0.⎫

⎫∂y∂x ⎫2

∂2Φ

xσy=2-Yy,2

xy ∂x

s

σ=

∂Φ∂y

-Xx,

τ=-∂x∂y

2

二、基本假设 1、连续性假定

假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。 2、完全弹性假定

a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。

b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。

3、均匀性假定

假定物体由同种材料组成,因此， E、μ等与位置无关。 4、各向同性假定

假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。

5、小变形假定

假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例：

梁的≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度。小变形假定的应用：

a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

b.简化几何方程：在几何方程中，由于(ε , γ ) >> (ε, γ

)2 >> ( ε ,γ ) 3 ⋅⋅⋅⋅ ,可略去 2等项,使几何方程成为线性方程。

弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节

有限元方法概述 1分析思路是：

将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特

性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。

2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结

点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过

结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作

用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，

这种位移称为结点位移。

3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6 例题1：试分析AB薄层中的应力状态

zzxzy

在近表面很薄一层内 zzxzy

故接近平面应力问题

(ε,γ)

(σ,τ

,τ

)=0.

(σ,τ

,τ

)→0.

因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右

均应=常数，由此解出。可得

σ显然，边界条件要求在x = ± a 上， x 也成抛物线分布。

3、混合边界条件：

⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例4 列出的边界条件：

x=a

0,fy =例5 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， f x = ρ g 。试用

位移法求

解。

解：为了简化，设位移

按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。

代入式(b), xy2x2

x2y2 y

xyxy

将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b) ⎫E∂2u1-μ∂2u1+μ∂2v

(++)+X=0 ⎫1-μ2∂x22∂y22∂x∂y⎫

⎫222

E∂v1-μ∂v1+μ∂u⎫(++)+Y=0 ⎫1-μ2∂y22∂x22∂x∂y⎫

位移边界条件（c） s s

用位移表示的应力边界条件（d）

EE∂u∂v⎫σ=(ε+με)=(+μ),⎫1-μ1-μ∂x∂y⎫EE∂v∂u⎫σ=(ε+με)=(+μ),⎫1-μ1-μ∂y∂x⎫

⎫EE∂v∂u

τ=γ=(+).⎫2(1+μ)2(1+μ)∂x∂y⎫

(u)=u,⎫⎫

⎫

(v)=v.⎫⎫

解出

y =0 ,l

v

得

y=0

(v)=0,

得 y=l

例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D点共点（连续），变形后三连杆在

移分量。

(v)=0,

解:

= ±(a)在主要边界 y h / 2 应精确满足下列边界条件：

在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 = 1时 h/2

xx=0

-h/2 h/2

xx=0

-h/2 h/2

xyx=0s

-h/2

在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。

xxyxxy

在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚时， b3F

(σy)y=0dx=-,0 2

b3F

(σy)y=0xdx=-b,0 4

bF (τyx)y=0dx=-。0 2

注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。对于y = h的小边界可以不必校核例8 厚度 = 1 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是δ Fx2yμFy3Fy3Fl2Fh2

u=--++(-)y,

2EI6EI6IG2EI8IG

δ

⎫⎫⎫

(σ)(σ)

dy=F,

ydy=M,dy=F。

(τ)

x=0 σ=-ρgy, τ=0;

x=l σ=0, τ=-q。