第三讲单自由度系统的强迫振动

1
动态响
K 1 2 2 2
令：
B
F K
静位移
应振幅 幅值放大因子： B
1
B0 (1 2 )2 (2 )2
tg 1
2 1 2
7
频响函数及特性曲线
1.频响函数是指系统输出的Fourier变换与输入的Fourier变换之
比
2.频响函数在振动系统中是响应与激励的Fourier变换之比，表
示响应与激励之间的幅值、相位关系随激振频率变化的规律
1 . 无阻尼情况：
响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和：
方程1
mx kx 0
x0 x0, x0 x0
解为： x1 t
x0
cos
0t
x0
0
sin
0t
为系统对初始条件的响应
方程2
mx kx p0 sin t
x0 0, x0 0
解为：x2 t
p0 k
• 1 2
sin 0t
这是响应的通常形式。B 为振幅，为相位差。
1 简谐力激励的强迫振动
特点 1 . 系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞
后于激振力的简谐振动。
2 . 稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数
（质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统进入
运动的方式（初始条件）无关。
B F0 •
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。 分析：人与车、车与轮胎、轮胎与路面存在运动耦合 建模方法一：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑
阻尼、弹簧 优点：模型简单 缺点：没有考虑人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的影响。
建模方法二：将车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹簧
阻尼、
优点：模型较为精确，考虑了人与车的耦合运动。 缺点：没有考虑车与轮胎、轮胎与路面间的影响。
m 19
4. 任意激励
单位脉冲响应:
ht
1
md
e 0t
sin
d t
如果单位脉冲不是作用在t=0,而是t= ， 响应也应滞后 。
ht
1
md
e0 t sin
d t
,
t
20
1.3 多自由度振动
•多自由度系统模型 •质量阵和刚度阵 •模态分析
21
1.3.1 多自由度振动模型
例：轿车行使在路面上，会产生上下振动。
2) 1, 0, , , , 90
3) 1, 0, 0
d 0 d
1 2
max 2
1
1 2
当
1 2
时，共振峰变平坦了。max
1
2 • 1
2 2 1
共振时， n 相位有180度的突变，且 90
此时放大因子 Q 1 也称为品质因子
2
11
2 强迫振动的过渡过程
建模方法三：将车、轮胎、人的质量分别考虑，并考虑各自的阻尼、弹簧
优点：模型较为精确，考虑了人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的相互耦合。 问题：如何描述各个质量间的相互耦合效应？
1.3.2 质量阵、刚度阵
例1：双质量－弹簧系统受激振力，并不考虑各自的阻尼。
建立系统运动方程。
解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受 力分析：
d 0 1 2
,
0
B
p0
k
,
1 2 2 2 2
tg 1
2 1 2
14
15
3.周期激励
线性迭加原理 对周期激励的分析，是先对其进行谐波分 析，将它分解为一系列不同频率的周期 激励， 然后得出系统对各个频率的简谐激励的响应， 再根据线性系统的叠加原理，将各个响应进行 叠加，既得到系统对周期激励响应。
第一章 振动理论基础
1.1 振动系统简介 1.2 单自由度系统 1.3 多自由度系统 1.4 连续振动系统 1.5 随机振动
11
1.2.2 强迫振动
系统在外部激励下所做的振动。
•谐波激励 •周期激励 •任意激励
2
1 简谐激励的强迫振动
1.简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它 在工程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造 成。 2.简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周 期激励下系统响应的基础。 3.通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可 以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。
p0 k
1
• 1 2
sin t
其中：第一项为伴随激励产生的自由振动 第二项为稳态强迫振动。
12
2 强迫振动的过渡过程
两个方程叠加的方程为：
mx kx p0 sin t
x0 x0 , x0 x0
全解为： xt x1t x2t
2 .有阻尼情况：
mx cx kx p sin t
x0
x 0
,
x0
x0
利用分解得到：
xt
e0t
x0
cos d t
x 0 x0 d
sin
dt
Be 0t
sin
cos d t
0 d
sin
cos sin
dt
B sin t
13
2 强迫振动的过渡过程
式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随 振动及稳态强迫振动。
其中： 0
k, m
c , 20m
F m
e jt
B
F m
•
02
2
1
j2 0
令 0
定义频率比
其中:
02
k m
1 简谐激励的强迫振动
B
F0 k
• 1 2
1
j2
F0 •
1
e j
k 1 2 2 (2)2
Be j
x B e jt
B
F0 K
•
1
1 2 2 2
tg 1
2 1 2
复数解为： x t Be jt 只要虚部： xt B sin t
3
1 简谐激励的强迫振动
质量-弹簧系统，激励为： 则振动微分方程与初始条件：
4
1 简谐激励的强迫振动
mx cx kx F sin t
x
20 x 02 x
F m
e jt
x 是复数，其特解为： x B e jt
c m
20
k m
02
其中；B 为复振幅
(B
• 02
20
ห้องสมุดไป่ตู้
• Bj
02
• B )e jt
H
X P
H
f
Xf P f
8
3.频响函数的特性曲线主要有： 幅频特性、相频特性，实频图、虚频图 Nyquist图：实部-虚部关系曲线
9
系统幅频和相频曲线
和随的变化曲线
10
B
B0
1 ,
(1 2 )2 (2)2
tg 1
2 1 2
0
1) 1, 0 , 1 振幅类似静位移 很小， 0 ，同向
16
17
18
4. 任意激励
单位脉冲响应:
m&x& cx& kx t
x 0 0, x&0 0
动量定理: t dt mdx&
0 t dt m
0
&x&dt
0
0
1 mx&0 mx&0
x&0 1 m
速度发生突变位移来不及改变。
系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为 1 的自由振动。