结构力学第3章

Fp
F a
E
D
C
B
A
(a)
2a D
a
2a
a
层叠图
F
B A
(b)
该多跨静定梁由AB、BD和DF三部分组成，AB为 基本部分，BD为支承于AB上的附属部分，而DF为支承 于上述组合部分之上的附属部分。它们之间的关系可用 图表示出来，这个关系图称为层叠图。 即根据附属部分支承于基本部分之上的原则，绘出 表示传力层次的图，称为层叠图。 显然分析时，应先从DF开始(因该部分仅3个未知力)， 然后是BD，最后才是AB。能否先分析AB或BD？
2 内力图
内力图：表示结构上各截面内力变化规律的函数图形。
绘制内力图的基本方法是：写出内力方程，以自变 量x表示截面的位置，写出内力与x之间的函数关系，然 后根据内力方程做图。 做内力图（FN、FQ和M图）时，通常是以杆的轴 线为基准线，以垂直杆轴向的竖标代表内力的大小。 对于M图，结构力学规定，一律画在杆件受拉一 侧，图中不必注明正负号； 对于FN、FQ图，可画在杆的任一侧，但必须注明 正负号。 在结构力学中，一般常用内力图来表示结构分析的 最终结果，下面根据材料力学的知识总结出梁内力图 （主要是M图）的一些特点。
例1 如图示简单梁，求C截面的内力。 解 （1）求约束反力 整体分析如图(a)所示
由 M A ( F ) 0得
1 q VB Fp 6 4 2 50kN 8 2
q=20kN/m
Fp=40kN
A VA
4m
C
2m
D
2m
B VB
图(a)
由 M B ( F ) 0得
解 (1)求约束反力
整体分析如图(a)所示
1 q VB Fp 6 4 2 50kN 8 2
VA
4m
VB
图(a)
(2)作FQ图
1 V A F p 2 q 4 6 70 kN 8
FNC
MC
Fp=40kN
C FQC
图(b)
B
VB
FQ图(kN)：
(a)反力校核：
Y 0 M 0
(b)内力校核：
(b)内力校核： FQBA
M BA
FQAB qx dx xA xB M AB FQ x dx xA
xB
(3-2)
若AB段内除有分布荷载 q(x) 外，还有集中荷载和集 中力偶，则上式应改写为
122.5
结束语
作业：
§3.2 多跨静定梁的计算
1 多跨静定梁的几何组成特征 多跨静定梁是各种铁路、公路桥梁常采用的一种结 构形式，在房屋建筑中有时也采用这种结构形式。
如
计算简图
屋架上弦 懔条 屋架上弦 懔条
计算简图
由此可见，多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而 成的静定结构。
从几何组成上看，多跨静定梁可分为基本部分和附属 部分
基本部分:能独立地与基础组成一个几何不变体系的部分 附属部分:依靠其它部分才能保证几何不变的部分。 又如：
A B C D E
根据定义，容易判断ABC部分为基本部分，CDE部分为附 属部分。 基本部分与附属部分的区别: (1) 若附属部分被切断或撤除，整个基本部分仍为几何不 变的; (2) 若基本部分的几何不变性被破坏，则附属部分的几何 不变性也连同遭到破坏。
M
M
(5)在自由端处，如无集中力偶作用，则自由端的弯矩为
零，如有集中力偶作用，则自由端的弯矩就等于该集中 力偶的值；
Fp l F pl M
M
3 叠加法做M图 利用叠加法作M 图是一种较为简便的方法，它适用 于梁、刚架等形式的结构。在利用叠加法作M图时，常 以简支梁的弯矩图为基础，因此，简支梁在简单荷载 （如：均布荷载、集中荷载和集中力偶等）作用下的M 图应十分熟悉。 例如作图示荷载作用下的简支梁弯矩图时。其步骤 如下 Fp MB M
若以x 轴向右为正，y 向下为正，荷载的集度q向下 为正，则FQ剪力和弯矩M之间具有如下关系（取出一微 段梁易得）
dFQ dx q dM ; FQ dx d 2M ; q 2 dx
由上述微分关系可知
(a)无荷载区段， FQ图为水平线(或与杆轴线平行线)， M图为斜直线； (b)均布荷载区段，FQ图为斜直线，M图为抛物线且其 凸出方向与荷载指向相同
与正弯矩峰值相等。 (2)作层叠图，如图(b)所示。 (3) 作M图，寻求最大负弯 矩和最大正弯矩。
qx2 q(l x) qlx MB x 2 2 2
(b)
q(l-x)/2 q
MB
ql2/8
MB= =qlx/2 M B qlx/2
BC段中点的正弯矩
M ql ql(l 2 x) q(l x) B 8 2 8 8 qlx q (l x ) 2 (4) 求铰D的位置 令 2 8 M中
J
q K q (a)
MJK FQJK
l
MKJ FQKJ
(b)
图(d)所示。
象这样，利用相应简支 梁的弯矩图叠加来作直杆某
MJK VJ
l VK
MKJ (c)
一区段弯矩图的方法，称为 区段( 分段)叠加法。
MJK
ql2/8
MKJ
(d)
例2
如图示简单梁，作内力图。
A
q=20kN/m
C
Fp=40kN
B D 2m 2m
2 多跨静定梁分析原则及一般步骤 下面通过例题，说明分析多跨静定梁的一般步骤和原则
Fp
F E D C B A
(a)
a
2a
a
2a
a
本题共有5个未知力，整体有3个平衡方程，及2个补 充方程：MD=0， MB=0 ，因此该连续梁是静定的。
求解上述5个方程，需解联立方程组，比较复杂，在力 学分析中应尽量避免。下面根据梁的几何组成特点，介绍 一种简便的分析方法。
FQBA M BA FQAB qx dx F pi i xA xB M AB FQ x dx M i i xA
xB
(3-3)
上式中Fp方向向下为正，M 顺时针方向为正。
例3 如图示两跨连续梁，求使该梁的负弯矩与正弯矩峰值 相等的铰D的位置。 q C A 解 (1) 设铰D距支座B的距离为x D B (a) x 时，该两跨连续梁的负弯矩 l l
60 40 40 60
(c)
20 33.33
1 M K 60 40 46.67kN.m 3
FE段：先延伸GF段，易得
46.67
M 40kN m
' E
' ME ME 20 60kN m
M图(kN.m)
60
EC段：先求MC ，如图(d)
FQBE 1 (50 60 10 2 5) 15kN 6
利用FQ 、 M图的这些特征，可简便地做出它们的图 形。一般而言， FQ 图比较简单，下面讨论绘制M图的简
单规则。
(1)无荷载区段，M图为斜直线，故只需求出该区段任意 两控制截面的弯矩便可绘出； (2)均布荷载区段，M图为抛物线且其凸出方向与荷载指 向相同； (3)M图的极值点，或在FQ=0处，或在FQ发生变号处；
主要内容 1 2 3 4 单跨静定梁的计算 区段(分段)叠加法 多跨静定梁的计算 静定平面刚架
§3.1 单跨静定梁的计算
在材料力学中已介绍过，由单根杆组成的静定梁有 如下三种形式
1 简支梁
2伸臂梁
3 悬臂梁
为了研究杆系结构的内力计算，首先复习以下结构
内力的分析方法——截面法（材力的内容）。 1 用截面法求指定截面的内力 在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力 轴力——截面上应力沿杆轴向的合力，符号FN； 剪力——截面上应力沿杆截面切向的合力，符号FQ ； 弯矩——截面上应力对截面形心轴的力矩，符号M。
(2) 画M图 先画FH段：
2
10kN/m 50kN.m 10kN 40kN
A B C D E F G H I
30kN 30kN
J K L
(a)
2
2
2
2
1 1
2
2
2
2
MG
Fp l 4
20kN.m
层叠图
(长度单位:m)
HI段：延伸GH段，易知
(b)
M I 40kN.m
IL段：用区段叠加法 2 M J 60 40 33.33kN.m 3
MC
FNC C FQC
图(b)
Fp=40kN B
VA
1 Fp 2 q 4 6 70kN 8
VB
（2）截面法求C截面的内力
取研究对象如图(b)所示
由∑X=0得
FNC 0
由∑Y=0得 FQC Fp VB 10kN 由 M C ( F ) 0得 M C VB 4 Fp 2 120kN.m
10 2 2 2 10 kN.m 2
2
10kN/m 50kN.m 10kN 40kN
A B C D E F G H I
30kN 30kN
J K L
(a)
2
2
2
2
1 1
2
2
2
2
M C FQBE
连接E、C两截面的弯矩竖 标，再叠加上简支梁在中 间截面单独作用集中力偶 时的弯矩图。 CB段：MB=0，连接B、C 两截面的弯矩竖标，再叠
如
层叠图
层叠图
层叠图
像这样，遵照先附属后基本的次序进行分析，每次的 就得到了该多跨静定梁的内力图。总结分析多跨静定梁的 主要步骤如下： (1)按照几何组成特点，绘出多跨静定梁的层叠图； (2)根据层叠图，先从最上层附属部分开始，依次计算
计算都与单跨梁相同，最后把各单跨梁的内力图连在一起，
各梁的内力； (3)按照绘制单跨梁内力图的方法，分别做各部分梁的 内力图，然后将其连在一起； (4)校核
1.1 截面法的基本步骤 (1)将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开(截)； (2)取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对
研究的作用用内力代替（取）；
(3)对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力 （列方程求解）。 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约 束反力）必须为已知或已求出。 1.2 梁的内力正负符号规定 轴力FN——拉力为正； 剪力FQ——绕隔离体顺时针方向转的为正； 弯矩M——使梁下部纤维受拉的为正。 下面举例说明截面法及其应注意的事项
abFp/l MA MB
(d)
下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段——区段 叠加法。 以图示简支梁的KJ段为例说明区段叠加法应用过程。
q
将K J 段作为隔离体取出
J
K
(a)
将其与简支梁图(c)比较 由于二者均为平衡力系，则必 有VJ=FQJK， VK=-FQKJ 因此二者的弯矩图相同。 利用简支梁弯矩图的叠加方 法，易得 K J 段的弯矩图如
q
例如
l
ql/2 2 ql/
Fp
a l bF bF p/l p/l b
FQ图
⊕
FQ图

ql/ ql/ 22
⊕

aF aF p/l p/l
M图
M图
ql2/8
abFp/l
(4)在铰接处的一侧截面上，如无集中力偶作用，则该截面 的弯矩为零，如有集中力偶作用，则该截面的弯矩就等于 该集中力偶的值 。
M M
A
(1)首先将荷载分成两组
a
b
(a)
第一组梁两端集中力偶， 如图(b)所示； 第二组简支梁受集中力， 如图(c)所示。
分别作其弯矩图。
l
MA
MB
(b)
Fp
(c)
(2)叠加两弯矩图，即得两组荷载 同时作用时的实际弯矩图，如图 (d)所示。 应当注意：
MA
MB
(b)
Fp
源自文库(c)
弯矩图叠加是指相应的竖标， 因此，竖标abFp/l仍垂直于原水 平基准线，而不是图中的虚线。
AC段斜直线； CD段水平线； DB段水平线。 (3)作M图 分AC、CB两段采用区段叠加法
M CA M CB VB 4 Fp 2 120kN.m
70
⊕
x
10

50 M图(kN.m)：
极值点的弯矩 在剪力图中，利用几何关系得
x 3.5m
40 120
40
q 2 M max V A 3.5 3.5 122 .5kN m 2
若改用双跨简支梁，如图(e) 所示。
q
l l
(e)
其 M图如图(f)所示 两者的最大弯矩的比值是
0.086ql 2 68.8% 2 0.125ql
(f) 0.125ql2 0.125ql2
一般而言，多跨静定梁比连续简支梁省材料，但构 造要复杂些。
例4 用最简捷的方法绘出图示多跨静定梁的M图。
解 (1) 画层叠图如图(b)所示
2 2
2 q q( (l l-x x) )2/8 /8
(c)
得 x 3 8 l 0.1716 l


(5) 最终的M图如图(d)所示。
0.086ql2
M max 0.086ql 2
2 0.086ql ql2 0.086 2 0.086 0.086ql ql2
(d)
0.1716l