优选节点电压法
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补充方程
u2 u3 8V
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 1.5u3 24V u2 u3 8V
解得：
u2 12V u3 4V i 1A
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
(
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)U
n1
U S1 R1
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S1S 0.5S)u 5A 5A
解得 u 10A 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
i1
5V 4V 1
1A
i2
4V 10V 2
3A
例4 用结点电压法求图示电路的节点电压。
解：选定6V电压源电流i的参考方向。计入电流变量I 列出 两个结点方程：
(1S)u1 i 5A (0.5S)u2 i 2A
补充方程 u1 u2 6V
解得
u1 4V, u2 2V, i 1A
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 (1S 0.5S)u2 i 3A (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i 0
(1S)u1 (1S 0.5S)u2 i 3A (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i 0
例1. 用节点电压法求图2-28电路中各电阻支路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压u1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
(1S 1S)u1 (1S)u2 5A (1S)u1 (1S 2S)u2 10A
图2－28
整理得到：
2uu11u32u2
5V 10V
1.对含有无伴电压源支路的电路的处理:(1)选取电压源“-”联 接的节点作为参考点，“+”端联接的节点电压等于电压源的电压， 为已知量。不再列出该节点的节点电压方程。（2）将电压源支路 的电流作为未知量，视为电流源电流，计入相应的节点电压方程 中。
2。对含有受控源的电路，将受控源视为独立电源，列写节点 电压方程，然后将受控源的控制量用节点电压表示，计入节点电 压方程中。
优选节点电压法
如图所示电路各支路电压可表示为:
u10=un1 u12=un1-un2 u23=un2-un3 u20=un2 u30=un3
节点电压法
二、结点方程
下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
整理得到:
5u1 2u2 u3 12V 2u1 11u2 6u3 6V u1 6u2 10u3 19V
解得结点电压
u1 1V u2 2V u3 3V
求得另外三个支路电压为：
u4 u3 u1 4V u5 u1 u2 3V u6 u3 u2 1V
当电路中含有无伴电压源或受控源时的处理:
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的负
值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iwenku.baidu.com11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
U S2 R2
U S3 R3
整理得
U S1 U S 2 U S3
U n1 (
R1 1
R2 11
R3 1
)
R1 R2 R3 R4
对只含有两个节点的电 路,其节点电压可表示为
U S
Un1
R或
1
R
Un1 ( GU S ) G
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路，其节点 方程的一般形式为：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点。标出各节点电压，其参考方向总是独 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 3．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 流和支路电压。 5.根据题目要求,计算功率和其他量等.
i3 i4 i6 iS2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
代入KCL方程中，经过整理后得到：
写成一般形式为
其中G11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。
解得各节点电压为：
u1 1V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2 ) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
(2S 2S 1S)u1 (2S)u2 (1S)u3 6A 18A (2S)u1 (2S 3S 6S)u2 (6S)u3 18A 12A (1S)u1 (6S)u2 (1S 6S 3S)u3 25A 6A
u2 u3 8V
代入u1=14V，整理得到：
1.5u2 1.5u3 24V u2 u3 8V
解得：
u2 12V u3 4V i 1A
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
(
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)U
n1
U S1 R1
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S1S 0.5S)u 5A 5A
解得 u 10A 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
i1
5V 4V 1
1A
i2
4V 10V 2
3A
例4 用结点电压法求图示电路的节点电压。
解：选定6V电压源电流i的参考方向。计入电流变量I 列出 两个结点方程：
(1S)u1 i 5A (0.5S)u2 i 2A
补充方程 u1 u2 6V
解得
u1 4V, u2 2V, i 1A
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 (1S 0.5S)u2 i 3A (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i 0
(1S)u1 (1S 0.5S)u2 i 3A (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i 0
例1. 用节点电压法求图2-28电路中各电阻支路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压u1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
(1S 1S)u1 (1S)u2 5A (1S)u1 (1S 2S)u2 10A
图2－28
整理得到：
2uu11u32u2
5V 10V
1.对含有无伴电压源支路的电路的处理:(1)选取电压源“-”联 接的节点作为参考点，“+”端联接的节点电压等于电压源的电压， 为已知量。不再列出该节点的节点电压方程。（2）将电压源支路 的电流作为未知量，视为电流源电流，计入相应的节点电压方程 中。
2。对含有受控源的电路，将受控源视为独立电源，列写节点 电压方程，然后将受控源的控制量用节点电压表示，计入节点电 压方程中。
优选节点电压法
如图所示电路各支路电压可表示为:
u10=un1 u12=un1-un2 u23=un2-un3 u20=un2 u30=un3
节点电压法
二、结点方程
下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
整理得到:
5u1 2u2 u3 12V 2u1 11u2 6u3 6V u1 6u2 10u3 19V
解得结点电压
u1 1V u2 2V u3 3V
求得另外三个支路电压为：
u4 u3 u1 4V u5 u1 u2 3V u6 u3 u2 1V
当电路中含有无伴电压源或受控源时的处理:
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的负
值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iwenku.baidu.com11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
U S2 R2
U S3 R3
整理得
U S1 U S 2 U S3
U n1 (
R1 1
R2 11
R3 1
)
R1 R2 R3 R4
对只含有两个节点的电 路,其节点电压可表示为
U S
Un1
R或
1
R
Un1 ( GU S ) G
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路，其节点 方程的一般形式为：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点。标出各节点电压，其参考方向总是独 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 3．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 流和支路电压。 5.根据题目要求,计算功率和其他量等.
i3 i4 i6 iS2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
代入KCL方程中，经过整理后得到：
写成一般形式为
其中G11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。
解得各节点电压为：
u1 1V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2 ) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
(2S 2S 1S)u1 (2S)u2 (1S)u3 6A 18A (2S)u1 (2S 3S 6S)u2 (6S)u3 18A 12A (1S)u1 (6S)u2 (1S 6S 3S)u3 25A 6A