第9章 弯曲应力与弯曲变形

力为FS。对切应力的分布作如下假设： （1）横截面上任一点的切应力的方向均与剪力FS的方向平行。 （2）距中性轴等远各点的切应力的大小相等。
F
mn
mn
x
dx
(a)
图9-8
x
Fs
h
b
则横截面上任一点的切应力的计算公式为
一般地， max 在危险截面上离中性轴最远的点处，即截面的上下边缘处。在这些
点切应力为零（将在下一节讨论），因此弯曲时最大正应力的点处于单向受力状态，
可仿照轴向拉伸（或压缩）建立强度条件。
弯曲正应力的强度条件是
max
M max Wz
≤
（9 - 9）
对于抗拉和抗压强度不等的材料（如铸铁），则需分别对拉应力和压应力进行校核。
M max 455kN m
A （a）
C
300
FAy
1400
B
D
300
FBy
（3）校核强度
AC或DB段
max
M Wz
210103 N m
π 0.25m3
137 106 Pa
137MPa
≤
32
CD段
max
M max Wz
455103 N m
π 0.33m3
129106 Pa
129MPa
例9 – 1 图9 – 5a所示矩形截面简支梁。已知：F = 5 kN，a = 180 mm，b = 30 mm，h =
60 mm。试求竖放时与横放时梁横截面上的最大正应力。
解：（1）求支座约束力
F
FAy FBy 5kN
A （a）
C
（2）画FS、M图（图9 – 5b、c）
a
l
CD段为纯弯曲
FAy
52103 m
28.8106 Pa
28.8MPa
≤
t
梁满足强度条件。
9.3 弯曲切应力简介 横力弯曲时，梁横截面上既有正应力又有切应力。一般情况下梁的强度由正应力决
定，但如横截面上有较大剪力FS而弯矩却较小；梁的跨度短而截面较高；组合梁截面 的腹板较窄等，应按切应力进行强度校核：
9.3.1 矩形截面梁横截面上的切应力 设梁的横截面为矩形，其宽度为b，高度为h，且h ＞ b（图9—8a）。横截面上的剪
MB是正弯矩，其值虽然小于MC的绝对值，但在 截面B处最大拉应力在截面的下边缘各点，而这些 点离中性轴的距离较远，有可能产生比截面C还要 大的拉应力，需对这些点进行强度校核。
截面C
y2 y1
B截面
t ,max
M B y2 Iz
截面B
图9—7
2.5103 N m 120 20
763108 m4
可由梁的变形情况确定。
由式（9 – 2）可知，梁的最大弯曲正应力应在截面的上、下边缘处，因此
max
Mymax Iz
令
Wz
Iz ymax
则式（9 – 3）可写为
（9 – 3） （9 – 4）
max
M Wz
式中Wz称为截面对于中性轴z的抗弯截面系数。
（9 – 5）
9.1.3 惯性矩
图9 – 4a所示任意平面图形的面积为A。在坐标（y，z）处取微面积dA，则z2dA和
小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形
9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲
前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问 题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。
mn aa bb
mn (a)
反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b）。
可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经
变成弧线的 aa和 bb，只是相对旋转了一个角度。
m
d
ρ n
O' a'
Me
b'
a' O'
y
b'
Me
mn (b)
（2）靠近顶面的纵向线段aa缩短，靠近底面的纵向
线段bb伸长。
Iz Iz a2 A
（9 – 6）
其中Iz——截面对于其形心轴z的惯性矩；
I z——截面对于与 z 轴平行的任一轴 z 的惯性矩；
a ——该两轴之间的距离；
A ——截面的面积。
由平行轴定理可知，在所有平行轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。
①参阅刘鸿文. 简明材料力学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2008.
Engineering Mechanics
（第 3 版）
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
高等教育出版社
第9章
弯曲应力与弯曲变形
9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施
Iz
Iy
1 2
Ip
πd 4 64
抗弯截面系数
πd 4
Wz
32 d
πd 3
32
2
（c）
d
d O
2z
ρy z dA
d
2
y 图9- 4
对于其他截面和各种轧制型钢，其抗弯截面系数可查有关资料。
另外，同一截面对于两相互平行的轴的惯性矩并不相同。当其中一轴是截面的形 心轴时，它们之间的关系由惯性矩的平行轴定理①给出，即
bh3
Wz
12 h
bh2 6
,
Wy
hb2 6
（b）
O
y
dy
dA
y
h 2
z h 2
2
y
b
对于圆形截面（图9 – 4c），因极惯性矩
I p
2dA πd 4
A
32
（见7.4.2）
而
2 y2 z2
故
IP
2dA
A
A
y2 z2 dA
y2dA
A
A z2dA Iz I y
因圆的任一直径都是对称轴，故
E E y
（b）
上式即为横截面上正应力的分布规律。横截面上任
一点处的正应力与它到中性轴的距离y成正比，y值相 同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。 其分布情况如图9–3所示。
虽然式（b）给出了正应力的分布规律，但须确定 中性轴的位置与曲率半径ρ的值，方能计算正应力。 这需要通过应力与内力间的静力关系来解决。
下页继续
截面B
截面C
图9—7
C截面
t,max
MC y1 Iz
4103 N m52103m 763108 m4
27.2106 Pa
27.2MPa
≤ t
c,max
MC y2 Iz
4103 N m120 20 52103m
763108 m4
46.2106 Pa
46.2MPa
≤ c
y2 y1
例 9 – 2 图9 – 6a所示阶梯形圆截面轴，CD段受均布载荷q = 1000kN/m的作用。已知
直径D = 330mm，d = 250mm，材料的许用应力 =140MPa。试校核轴的强度。
解：（1）求支座约束力
q
FAy FBy 700kN
（2）画弯矩图（图9 - 6b）
MA MB 0 MC M D 210kN m
y2dA分别称为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩，而遍及整个面积的积分
I y
z 2dA
A
和
Iz
y2dA
A
z
分别称为图形对y轴和z轴的惯性矩。
对于矩形截面（图9 – 4b）
Iz
y2dA
A
h
y 2 2
h 2
bdy
b 3
h
y
3
2
h 2
bh3 12
和
Iy
hb3 12
（a）z ρ
y
抗弯截面系数
梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力 的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力 的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如，图9 - 1a所示简支梁。由图可知梁的CD段为纯弯曲，AC和DB段为横力弯曲。
y
F
A aC
z
(a)
FS
F
F Da
B x
≤
32
故梁满足强度条件。
例 9 – 3 图9 –7所示T型截面铸铁梁，尺寸（mm）如图示。已知：F1 = 9kN，F2 =
4kN，铸铁的许用拉应力 t = 30Mpa，许用压应力c = 60MPa，截面对形心轴z
的惯性矩Iz = 763cm4，y1 = 52mm。试校核梁的强度。
解：（1）求支座约束力
M
O
dA
y
σ
y
图9 – 3
z 中性轴 x
3. 静力关系
梁纯弯曲时横截面上只有正应力，横截面上所有微内力（σdA）构成一空间平行力系
（图9 – 3）。且知横截面上无轴力，仅 x y 平面内有弯矩M，因此
FN
dA 0
A
（c）
M A ydA
（d）
将式（b）代入式（c），得
E ydA E
A
MC 0, FAy 2.5kN MA 0,FCy 10.5kN
（2）画弯矩图 MA MD 0 M B FAy 1m 2.5kN m MC F2 1m 4kN m
F1
F2
A
B
C
D
1m
FAy
1m
1m
FCy
120 20
y2
y1
z y
y2 y1
（3）强度校核 最大负弯矩在C截面上
M max Mc 4kN m
y d d y
d
（a）
m
d
ρ n
O' a'
Me
b'
a' O'
y
b'
Me
mn (b)
中性层
z
中性轴
y
b'
纵向对称轴
b'
y (c)
图9 – 2
对于确定截面ρ是常量，可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离 y 成正比。
2. 物理关系 前述设纵向线段仅受轴向拉伸或压缩，因此当应力不超过比例极限时，由胡克定律知
A
1 M
EIz
（9 – 1）
式（9 – 1）是计算梁变形的基本公式，可确定中性层的曲率。式中EIz称为梁
的抗弯刚度，EIz值越大，梁的弯曲变形越小。
将式（9 – 1）代入式（b），得
My
IZ
（9 – 2）
这就是纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式。弯曲变形时梁凹入一侧受压，凸
出一侧受拉。因此，应用公式（9 - 2）时，M与y均可以绝对值代入，正应力的符号
中性层
z
中性轴
y
由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截 面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴 线，只是绕横截面内某一轴旋转一Fra Baidu bibliotek度。这就是弯
b'
对称轴
b'
y (c)
曲变形的平面假设。
图9 – 2
设想梁由无数纵向线段组成，所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩，相互之间无 挤压。弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长，由变形的连续性可知，其间必有 一层线段长度不变，称该层为中性层。中性层和横截面的交线，称为中性轴（图9 – 2c），变形时横截面绕其中性轴转动。
F
D
B
a
FBy
b
O
h
z
M max M C 900N m
y
（3）竖放时最大正应力
max
M Wz
M bh2
900N m
0.03m 0.06m2
6
6
50106 Pa 50MPa
横放时最大正应力
max
M Wy
M hb2
900N m
0.06m 0.03m2
6
6
100106 Pa 100MPa
F
a
A
C
FA M Fa
F
a
D
B
(b)
FB
x
(c)
F
图9 – 1
x (d)
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。
1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直
梁，在其侧面画两条横向直线mm及nn，并在横向线 间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa与 bb（图9 – 2a）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、
A
ydA
E
Sz
0
式中 Sz A ydA 为截面对z轴的静矩（见5.3.1）。由于
E为常数且不等于零，故必有
Sz 0
因此可得结论：中性轴必通过横截面的形心。
将式（b）代入式（d），得
y
E
E ydA
A
A
y 2dA
E
Iz
M
（e）
式中
Iz
y2dA 为截面对中性轴z的惯性矩。于是（e）式可以写成
横力弯曲时，弯矩M不再为常量并随横截面的位 置而变化。最大正应力一般发生在弯矩最大的截面 （危险截面）上。由式（9 – 3）或（9 – 5），有
或
max
M max ymax Iz
max
M max Wz
（9 – 7） （9 – 8）
a
A
x
FAy
Fb
C
x1 l
B FBy
9.2.2 弯曲正应力的强度条件
在对称弯曲的情况下，梁的变形对称于纵向对称面。
因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。用横截
面m-m和n-n从梁中切出长为dx的微段（图9-2b）。设
截面m-m与n-n之间的相对转角为dθ，中性层 oo的
曲率半径为ρ。取轴y和z轴分别沿横截面的对称轴和中 性轴（图9 – 2c）。距中性层为y处的纵向线段bb原长 为dx，它等于ρdθ，变形后 弧b线b的长度为（ρ+y） dθ。纵向线段bb的线应变为
9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.2.1 横力弯曲时的正应力
式（9 – 2）是在梁纯弯曲的情况下导得的，它以平面假设和纵向线段间无挤压的假 设为基础。但工程中弯曲问题多为横力弯曲，梁横截面上不仅有正应力还有切应力。 由于切应力的存在，梁的横截面将发生翘曲，不再保持为平面。而且纵向线段之间也 往往存在挤压应力。但进一步分析表明，当梁的跨度l与横截面的高度h之比大于5时， 应用式（9 – 2）计算横力弯曲时的正应力是足够精确的。