弯曲应力

q=3.6kN/m
求最大应力
A
L=3m
M max 6M max 6 4050 B max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa
–
Q
ql/2
+ x
ql/2
M
qL2/8
Qmax 1.5 5400 max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa
由平移轴公式有：
20
y
60 203 20 I zC ()＝ 22 60 20 21.28 104 mm4 12 2
2
20 403 2 I zc () 40 22 40 20 36.59 104 m m4 12
故有：
I zC I zC () I zC () 57.8710 mm
4
4
3.横力弯曲时梁的正应力计算
图示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm,b=20mm， b h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。
q
解：（1）求B截面上的弯矩,由截面法，求得：
M B yd 4.5 105 30 / 2 4.5 105 30 d 150MPa 3 3 bh Iz 2 4510 12
或：σ d=2σ c=150MPa
拉应力
压应力
q=3.6kN/m
矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图， 试求最大正应力。
A
L=3m
纵向对称面 中性层
a
b
c
d M
M
a b c d
中性轴：中性层与横截面的交线。
2)纯弯梁变形的几何规律
dθ
dx
1 O1 a 1
2
O2 b 2 y
中性轴 x
z
1 O1 a 1 y
ρ
2 O2 y b 2
距中性层为 y 处的纵线ab的变形量：
lab ( y)d dx y)d d yd （
1）．纯弯曲的实验现象及相关假设
a.梁的横截面在梁变形后仍保持为平面， 且仍与梁轴线正交。此为平面假设。 b.梁的纵向直线均弯曲成弧线，靠顶面 的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位 中性轴 于中间位置的纵线长度不变。纵向纤维 都是轴向拉长或缩短（即纵向纤维之间 无相互挤压）。此为单向受力假设。亦 即横截面上只有正应力 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不 缩短，因而纤维不受拉应力和压应力， 此层纤维称中性层。

M
Q




带翼缘的薄壁截面，除上述危险点外；还有一个可能的危险点，即在
Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。

M
Q
2、正应力和剪应力强度条件：


Qmax S z max
X N
2
N1 1b(dx) 0
X N2 N1 1b(dx) 0
M N1 dA A Iz
MSz ydA A Iz
( M dM ) S z N2 Iz
x
dx
dM S z QSz 1 dx bI z bI z
梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 1、两点假设： 剪应力与剪力平行；
Q
x
dx
பைடு நூலகம்
矩中性轴等距离处，剪应力相等。 2、研究方法：分离体平衡。
Q(x) Q(x)+d Q(x) M(x)
dx z
在梁上取微段dx
从微段上取一部分来研究， 由平衡：
M(x)+d M(x)
1

y
x
1
故ab纵线的正应变则为：
lab yd yd y lab dx d
lab yd yd y lab dx d
3).物理方程与应力分布 由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由虎克 定律知
E E
Q(x) Q(x)+d Q(x) M(x)
dx z
由剪应力互等
M(x)+d M(x)
QS ( y) 1 bI z
h y h b h2 S z yc A 2 b( y) ( y 2 ) 2 2 2 4
1

y
x
1
Q
矩
Q h2 ( y2 ) 2I z 4
C 50 200 50 96.4
B
0.6m
z
(2) 确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力
16KNm
2P
y
12KNm
显然，A截面上的最大拉应力要大于B截面上 的最大拉应力，故梁内最大拉应力发生在A截面下 边缘处


max
M A y 2 16 106 (250 96.4) 24.09MPa 8 Iz 1.02 10
20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，P=50KN，计算梁内最大正应力。
解：（1）画梁的弯矩图
（2）查表得抗弯截面模量 （3）求最大正应力
M max max Wz
求图示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN，Iz=10200cm4。
150 P A
1.4m
解：（1） 画弯矩图，确定危险面
My Iz
常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩
a) 惯性矩
b/2 b/2
▲ 矩形截面的惯性矩Iz 根据惯性矩定义有：
h/2
C y
z
I z y 2 dA
A
h/2
y
h 2 h 2
bh3 y 2 bdy 12
d
dy
▲ 圆形截面的惯性矩Iz
I P 2 dA y 2 dA z 2 dA
max
M Wz
Iz / ymax只与截面的形状及尺寸相关，称其为抗弯截面模量，用Wz表示 因此，最大弯曲正应力即为:
▲
矩形截面抗弯截面系数
bh3 2 12 bh Wz h 6 2
3 64 d Wz d 32 2
▲
圆形截面抗弯截面系数
d 4
D 4
同理，空心圆截面的抗弯截面系数
Wz 64
(1 4 ) D 2

D 3
32
(1 4 )
c) 组合截面的惯性矩 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单 图形面积分别为A1、A2、……An。根据惯性矩定义 及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于 每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：
I z I z (i)
矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，
试求最大正应力和最大剪应力及其之比。
A
L=3m
B
解：画内力图，确定危险面
Q
ql/2
+ – M
qL2/8
x
ql/2
Qmax
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
M max
+ x
梁的应力及强度设计
DESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSES
a
C
P
A
P
B
纯弯曲: a
某段梁的内力只有弯矩没
有剪力时，该段梁的变形称为 纯弯曲。如AB段。
D
Q x
横力弯曲：
x M
某段梁的内力同时有剪力与弯矩， 此弯曲称为横力弯曲，如AC、BD段
1.纯弯梁横截面上的正应力
max
3Q 1.5 2 A
方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、其它截面梁横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
1 QS
z
bIz
其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；
40
由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为
A1 yc1 A2 yc 2 yC A1 A2
1200 10 800 40 22 mm 200 800
60 20 40 C Ⅱ
（2）求截面对形心轴zC的惯性矩Iz根据组合公式有：
Ⅰ
Z
yC ZC
I zC I zC () I zC ()
y

（a）
表明横截面上正应力沿截面高度呈线形分布，而中性轴上各点的正应力为零。
σ-max 中性轴
σ+max
σ-max
E E
4).静力学关系
y

(a)
中性轴
z M c бdA x
因：
dA 0
A
σ+max
(b)
y dA M
A
(c)
y
y
将(a)式代入(b)，于是有：
ydA ydA 0
A A
E
E
即：
ydA 0
A
由此可见，中性轴过截面形心。
E E
y

(a)
y dA M
A
(c)
将(a)式代入(c)
得：

A
E
y 2 dA M
1 M EI z
令：
I z y 2 dA
A
得：


(d)
Iz为截面对Z轴的惯性矩 可见：中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与EIz成反比。可知，EIz的大小直接决定了梁 抵抗变形的能力，因此称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。 将(d)式代入(a)式，得：
B
解：画内力图，确定危险面
Q
ql/2
M max
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
+ – M
qL2/8
x
ql/2
求最大应力
max
x
M max 6M max 6 4050 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa
+
最大曲率发生在哪里。 若G=200GP，计算最大曲率
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。
2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
①工字钢截面：
max
Q Af
; Af —腹板的面积。
min
max
② 圆截面：
max
4Q 4 3 A 3 Q 2 2 A
③ 薄壁圆环：
max
试计算图示工字形截面梁内的最大剪应力。
M A y1 16 106 96.4 15.12MPa 8 Iz 1.02 10
最大压应力发生于何处？
A max

B max
M B y 2 12 106 (250 96.4) 18.07MPa 8 Iz 1.02 10
可见，梁内最大压应力发生在B截面的下边缘各点
A
A A
I z I y 2I z
c
z
ρ z
y
y
I P d 4 Iz 2 64
同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为 式中D为空心圆截面的外径，α为内、外径的比值。
I P D 4 Iz (1 4 ) 2 64
b)抗弯截面模量
max
Mymax M Iz I z / y max
解:（1）画梁的剪力图
最大剪力为15KN
15KN
10KN
5KN
（2）查表得No16工字钢的截面几何数据
b=6mm
Iz/Sz(ω )=13.8cm
(3)计算应力
max
Qmax S z ( ) 18.1Mpa bI z
（4）腹板上平均剪应力
Q 17 .8MPa A
q=3.6kN/m
应力之比
+ x
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Q h
梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面 一、梁的正应力和剪应力强度条件
1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上； 最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。
i 1
n
惯性矩的组合公式
平行移轴定理: z
I Z y 2 dA ( y0 d ) 2 dA y02 dA 2d y0 dA d dA
2
A
A
A
A
A
y
C y dA
d y0
z0
I z I z 0 Ad
2
I z0
0
Ad 2
截面对任一非形心惯性矩，等于截面对平行于该轴的形心轴的 惯性矩与一附加项之和，该附加项等于截面面积与两轴距离平方 之积。
A
l
B
h
c
d
h/2 z
ql 2 10 3002 MB 4.5 105 Nm m 2 2
q
QB
y
(2)求B截面上c、d处的正应力
A B
MB
M B yc 4.5 105 30 / 4 4.5 105 30 c 75MPa 3 3 bh Iz 4 4510 12
因该附加项恒为正，所以，截面对形心轴的惯性矩最小。
求图示T字形截面对形心轴zC的惯性矩Iz。
解：（1）确定截面形心C的位置 60 20 Ⅰ C Ⅱ 20 y Z yC ZC 将截面分为两个矩形Ⅰ、Ⅱ 其面积及各自的形心纵坐标分别为： A1＝60×20＝1200mm2 yC1＝20/2＝10mm A2=40×20＝800 mm2 yC2＝40/2＋20＝40mm