正弦交流电路中的功率及功率因数的提高

课题：正弦交流电路中的功率及功率因数的提高

教学目标：

1．掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数

教学重点：

功率的计算

教学难点：

功率的计算

教学过程：

2.7 正弦交流电路中的功率及功率因数的提高

在2.3中分析了电阻、电感及电容单一元件的功率，本节将分析正弦交流电路中功率的一般情况。

3.7.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数

设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图2.45所

示，则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为

)()(t i t u p ⋅=

设 )sin(2)(ϕ+ω=t U t u

t I t i ω=sin 2)( 图3.45

其中ϕ为电压与电流的相位差。

)()()(t i t u t p ⋅=

t I t U ω⋅ϕ+ω=sin 2)sin(2

)2cos(cos ϕ+ω-ϕ=t UI UI

(2-49)

其波形图如图3.46所示。

瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从

图3.46 瞬时功率波形图

外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P 为瞬时功率)(t p 在一个周期内的平均值，

⎰=T pdt T P 01

将式（2-49）代入上式得

()[]⎰ϕ+ω-ϕ=T t UI UI T P 0cos cos 1dt ϕ=cos UI （3-50） 可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。

ϕcos 称为二端网络的功率因数，用λ表示，即ϕ=λcos ，ϕ称为功率因数角。在二端网络为纯电阻情况下，0=ϕ，功率因数1cos =ϕ，网络吸收的有功功率 UI P R =；当二端

网络为纯电抗情况下，︒±=ϕ90，功率因数0cos =ϕ，则网络吸收的有功功率 0=X P ，这与前面2．3节的结果完全一致。

在一般情况下，二端网络的jX R Z +=，R X

arctg =ϕ，0cos ≠ϕ，即ϕ=cos UI P 。

二端网络两端的电压U 和电流I 的乘积UI 也是功率的量纲，因此，把乘积UI 称为该网络的视在功率，用符号S 来表示，即

UI S = （3-51） 为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安（VA ）。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为kVA 4000，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。

在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。即 Q I U x =

而 ϕ=sin U U X

所以无功功率ϕ=sin UI Q （3-52） 当ϕ=0时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换； 当0≠ϕ时，说明二端网络中必有储能元件，因此，二端网络与电源间有能量的交换。

对于感性负载，电压超前电流，0>ϕ，Q 0>；对于容性负载，电压滞后电流，0<ϕ，Q 0<。

2.7.2 功率因数的提高

电源的额定输出功率为ϕ=cos N N S P ，它除了决定于本身容量（即额定视在功率）外，还与负载功率因数有关。若负载功率因数低，电源输出功率将减小，这显然是不利的。因此为了充分利用电源设备的容量，应该设法提高负载网络的功率因数。

另外，若负载功率因数低，电源在供给有功功率的同时，还要提供足够的无功功率，致使供电线路电流增大，从而造成线路上能耗增大。可见，提高功率因数有很大的经济意义。 功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载的存在。工厂生产中广泛使用的三相异步电动机就相当于电感性负载。为了提高功率因数，可以从两个基本方面来着手：一方面是改进用电设备的功率因数，但这主要涉及更换或改进设备；另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器。

下面分析利用并联电容器来提高功率因数的方法。

原负载为感性负载，其功率因数为ϕcos ，电流为1I

，在其两端并联电容器C ，电路如图3.47所示，并联电容以后，并不影响原负载的工作状态。从相量图可知由于电容电流补偿了负载中的无功电流。使总电流减小，电路的总功率因数提高了。

(a)电路图 (b)相量图

图3.47 设有一感性负载的端电压为U ，功率为P ，功率因数1cos ϕ，为了使功率因数提高到

ϕcos ，可推导所需并联电容C 的计算公式：

U P I I =ϕ=ϕcos cos 11 流过电容的电流

)(sin sin 111ϕ-ϕ=ϕ-ϕ=tg tg U P I I I C

又因 C U I C ω= 所以 )(12ϕ-ϕω=

tg tg U P C （2-53）

例3.20两个负载并联,接到220V 、50Hz 的电源上。一个负载的功率1P

=2.8kW ，功率因数cos 1ϕ=0.8(感性)，另一个负载的功率2P =2.42kW ，功率因数cos 2ϕ=0.5(感性)。试求:

(1)电路的总电流和总功率因数；

(2)电路消耗的总功率；

(3)要使电路的功率因数提高到0.92，需并联多大的电容？此时，电路的总电流为多少？

(4)再把电路的功率因数从0.92提高到1, 需并联多大的电容?

解：(1) 9.158.02202800cos 111=⨯==

ϕU P I A

cos 1ϕ=0.8 1ϕ=36.9° (2) 225.02202420cos 222=⨯==

ϕU P I A

cos 1ϕ=0.5 1ϕ=60° 设电源电压 U =220/0°V ，

则 1I

=15.9/-36.9°A 2I =22/-60°A

I =1I +2I =15.9/-36.9°+22/-60°=37.1/-50.3°A

I =37.1A ϕ'=50.3° cos ϕ'=0.64

21P P

P +==2.8+2.42=5.22 kW (3) 9.0cos =ϕ 2 ︒=ϕ1.23

cos ϕ'=0.64 ϕ'=50.3° )1.233.50(2︒-︒ω=tg tg U P C

=0.00034(1.2-0.426)=263μF 8.2592.02205220cos =⨯==

ϕU P I A

(4) 9.0cos ='ϕ 2 ︒=ϕ'1.23 1cos =ϕ ︒=ϕ0

)01.23(2︒-︒ω=

'tg tg U P C

=0.00034(0.426-0)=144.8μF