《结构力学》第八章 位移法

图示荷载弯矩图
图示单位弯矩图
第二种基本思路
位移法思路(典型方程法)
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）.
列方程可求位移。
B
AV t0lAD 40
AH t0lAB 60 请自行线求胀解系！数
利用对称性后,B点有没有位移?
A点线位移已知否?
取半结构位移未知数等于几?
例八:试作图示结构弯矩图.
请自行列方程、 求解并叠加作弯 矩图
例九:试作图示结构弯矩图.
请自行列方程、 求解并叠加作弯 矩图
已知楼层第j个柱子的抗侧移刚度为12EIj/h3, 那么图示层侧移刚度ki等于多少？
按迭加法作最终弯矩图
M M jj MP
取任意部分用平衡条件进行校核
例一:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
熟记了“形、载
常数”吗？
kij、RiP
如何求？
na 2 nl 0
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
单位弯矩图为
Z1 1
4i
Z2 1
8i
4i
4i 8i
4i 4i 8i
k12 2 k 22 2
R1P R2P
0 0
12i1 4i2 0 0
4i1
20i2
ql 2 12
0
请自行作出 最终M图
1
ql 2 672i
2
ql 2 224i
最终内力： M M11 M 22 M P
例二:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
na 1 nl 1
熟记了“形、载
2i
2i
M1 图
k11
8i
k k 取结点考虑平衡 M2 图
21
12
4i
4i 8i
k22
8i
4i
4i
k11 12i k21 4i k12 4i k22 20i
ql 2 12
荷载弯矩图
M
图
P
R1P
R2P
取结点考虑平衡
ql 2
R1P 0
12
R2P
ql 2 12
位移法典型方程：
kk121111
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(7) 载
形 载
载
超静定单跨梁的力法结果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载 载 载
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
3m
反对称荷载组
用力法求解 n 1
例六:用位移法计算图示刚架,并作弯 矩图. E=常数.
利用对称性C处什麽 支座?怎样才能拆成 有力-位移关系的单跨
梁? n等于多少?
利用对称性
nl n 1
取
C
半
计
算
简
图
BC杆属于哪类“单元”? 它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
例七:刚架温度变化如图,试作其弯矩图. EI =常数,截面为矩形,高为h.
常数”吗？
kij、RiP
如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下:
6i
4i
6i
6i/l
2i
3i/l
3i/l
ql2/8
取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数
k11
k12 = k21
k21 = k12
6i 6i
6i/l
k22
4i
6i/l
请自行列方程、
R1P
求解并叠加作弯
超静定单跨梁的力法结果(10) 载 载
载
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；
（2）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
核心是化未知为已知
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动 共同作用下
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M AB
3i A
3i l
AB
MF AB
A端固定B端定向
M AB
i A
MF AB
M BA
i A
MF BA
位移法第一种基本思路
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .如何求解?
M
q
Δ
FFP P
FP FP
力法未知数 个数为3,但 独立位移 未知数只
3i/l2 12i/l2 3i/l2 R2P
矩图
3ql/8
例三:图示等截面连续梁,B支座下沉 ,C支
座下沉0.6 .EI等于常数,作弯矩图.
熟记了“形常数”
na 2
吗？
nl 0
kij、RiC
如何求？
单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下:
例四:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
熟记了“形常数”
第八章 位移法
§8-1. 位移法的基本原理
已有的知识： （1）结构组成分析； （2）静定结构的内力分析和位移计算； （3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁 结果。
A
B
位基
移本
法单
A
B
中跨
的梁
超静定单跨梁的力法结果(1)
形=形常数
载=载常数
形
形
载
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
力法
位移法
基本未知量：多余力
基本结构：一般为静定结
构，能求M 的超静定结构
也可。
作单位和外因内力图
由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。
建立力法方程（协调）
X 0
解方程求独立结点位移
迭加作内力图
用变形条件进行校核
基本未知量：结点独 立位移
基本结构：无位移超 静定次数更高的结构
作单位和外因内力图
第二种基本思路
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .如何求解?
以A 点转角做
M
q
Δ
FP FP
基本未知量,设
为 .在A 施加
限制转动的约 束,以如图所示
FFP P
体系为基本体 系(基本结构的
定义和力法相
仿).
根据两图结点平衡
第二种基本思路
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作
ki=Σ 12EIj/h3, kii、kii+1 =多少？ n层刚架结构刚度矩阵[K]什么样？
例十:试作图示结构弯矩图.
135o
7.071i/l
ql2/8
5.657i/l
请自行求系数、 列方程、求解并 叠加作弯矩图
9i/l2 7.071i/l
从上述例子 可以得到 一些什麽结论?
力法、位移法对比
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
确定独立位移未知量数目（隐含建立基本体 系，支杆只限制线位移，限制转动的约束不 能阻止线位移）
作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩图 作外因（主要是荷载）下的弯矩图 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数
kij , Ri
典型方程法步骤
建立位移法典型方程并且求解：
kijj Ri 0 (i 1,, n)
基本思路
典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的 “反应”，通过消除基本体系和原结构差别来 建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
K R 0
平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移
下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角 位移）方程
F K F F
由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移 未知量的方法。
吗？ na 0
kij、RiP nl 1
如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
3EI/16
பைடு நூலகம்40
特殊情况讨论（剪力分配法）
1 sj
FP
例五:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
如何求解工作量最少?
3I
对称时
联合法
3m
na n 1
反对称时
na 1
3I
nl 1
对称荷载组
用位移法求解 n 1
位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨论)
结点位移包括角位移和线位移
独立角位移 na =刚结点数；
独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时：
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何 不变所需加的支杆数。
考虑轴向变形时：
手算时
nl =结点数2–约束数
总未知量 n = na+ nl 。
电算时
位移未知数确定举例
请自行求系数、
列方程、求解并 叠加作弯矩图
弯 分
用混合法计算图示刚架,并作弯矩图. EI=常数.
系数间有 位移和反 力互等的
关系。
原则上与未知
力对应的系数
这样做系数如何计算？ 用图乘求，与
系数间有什麽关系，
位移对应的系 数用平衡求。
依据是什麽？
如何建立方程， 按典型方程法建 其物理意义是什麽？立调，方力 程法 ，部 位分 移协 法
部分平衡方程。
由内力图的结点、隔 离体平衡求系数，主系 数解恒方正程K。求独立F结 点0位移
迭建加立作位内移力法图 方程（平 衡用）平衡条件进行校核
混合法
基本思路
联合法是一个计算简图用同一种方法， 联合应用力法、位移法。
混合法则是同一个计算简图一部分用 力法、另一部分用位移法。超静定次数 少，独立位移多的部分取力为未知量。 超静定次数多，独立位移少的部分取位 移作未知量。
FP x
y
在线性小变形条件下，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
转角位移方程(刚度方程)
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
其中： i EI 称杆件的线刚度。
l
MF AB
,
M
F BA
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
典型方程法基本概念
基本结构：加约束“无位移”,能拆成
已知杆端力-杆端位移关系“单跨梁” 的超静定结构。
②
④
①
③
⑤
基本体系：受外因和未知位移的基本
结构。
典型方程法基本概念
基本方程：
外因和未知位移共同作用时,附加约 束没有反力——实质为平衡方程。
K R 0
未知位移 外因
附加反力 为零
典型方程法步骤