高考数学巧解选择题10大妙招

信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
题型概述
方法突破
归纳总结
【例 3】 (1)(2016· 浙江卷)已知函数 f(x)满足：f(x)≥|x|且 f(x)≥2x，x∈R ( A．若 f(a)≤|b|，则 a≤b C．若 f(a)≥|b|，则 a≥b (2)设函数
2 A.3，1
A．9
解析 法一
B．8
C．5
D．4
由 x2＋y2≤3 知，－ 3≤x≤ 3，－ 3≤y≤ 3.
又 x∈Z，y∈Z，所以 x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所
1 以 A 中元素的个数为 C1 3C3＝9，故选 A.
法二
根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，
如图，易知在圆 x2＋y2＝3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.
)
m－3 A. 9－m
解析
m－3 B. |9－m|
1 C．－5
D．5
θ 也是 2
由于受条件 sin2θ＋cos2θ＝1 的制约，m 一定为确定的值进而推知 tan
π π θ π θ 一确定的值，又2＜θ＜π，所以4＜2＜2，故 tan 2＞1.所以 D 正确．
答案 D
题型概述
方法突破
归纳总结
探究提高 估算法的应用技巧： 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从 正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时 ( 如难度稍大的函数的 最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．
答案 A
题型概述 方法突破 归纳总结
探究提高
直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时
练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的 方法巧解选择题是建立在扎实掌握 “三基”的基础上的，否则一味求快则会快
中出错．
题型概述
方法突破
归纳总结
【训练 1】 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2，0)， → → → 则|PA＋PB＋PC|的最大值为( A．6
解析
1 (1)当 a＝0 时，x＝－2，故排除 A、D.当 a＝1 时，x＝－1，排除 B.
π 1 2 1 2 1 2 1 ＋ x x ＋ cos x (2)f(x)＝4x ＋sin 2 ＝ x ＋cos x， 故 f′(x)＝ 4 ′＝2x－sin x， 记 g(x)＝f′(x)， 4 1 1 其定义域为 R，且 g(－x)＝2(－x)－sin(－x)＝－2x－sin x＝－g(x)，所以 g(x)为奇 π 1 函数，所以排除 B，D 两项．g′(x)＝ －cos x，显然当 x∈0，3时，g′(x)＜0，g(x) 2 π 在0，3上单调递减，故排除
x x max{x，2 }＝2 ，x≥0， f(x)＝ x max{ － x ， 2 }，x＜0.
下面利用特值法验证选项．
题型概述
方法突破
归纳总结
当a＝1，b＝－3时可排除选项A，
当a＝－5，b＝2时可排除选项C，D.故选B.
(2)当 a＝2 时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2 满足题意，排除 A，B 选 2 2 2 项；当 a＝3时，f(a)＝f 3 ＝3×3－1＝1， 2 f(a) f (f(a))＝2 ，∴a＝3满足题意，排除 D 选项，故答案为 C. 答案 (1)B (2)C
最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但
时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技 巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.
题型概述
方法突破
归纳总结
方法一
直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过
答案 C
题型概述
方法突破
归纳总结
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法，
但大部分选择题的解法是直接法．在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特 点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做 文章，切忌盲目地采用直接法． 2. 由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入
答案 A
题型概述
方法突破
归纳总结
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题 目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便 能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强 了思维的层次．
题型概述
方法突破
归纳总结
m－3 4－2mπ θ ＜θ＜π ，则 tan 等于( 【例 5】 已知 sin θ＝ ，cos θ＝ 2 m＋5 m＋5 2
题型概述
方法突破
归纳总结
【例 2】 (1)如图，在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P， Q 满足 A1P＝BQ， 过 P， Q， C 三点的截面把棱柱分成两部分， 则其体积之比为( A．3∶1 ) B．2∶1 C．4∶1 D. 3∶1
(2)已知定义在实数集 R 上的函数 y＝f(x)恒不为零，同时满足 f(x＋y)＝f(x)· f(y)，且当 x＞0 时，f(x)＞1，那么当 x＜0 时，一 定有( ) B．－1＜f(x)＜0 D．0＜f(x)＜1
准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的
选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法．涉及概念、性质 的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
题型概述
方法突破
归纳总结
【例1】 若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
C.选 A.
答案 (1)C (2)A
题型概述
方法突破
归纳总结
方法四
数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出
正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几
何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性 质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．
题型概述
方法突破
归纳总结
【例4】 函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( A．0 B．1 C．2
) D．3
解析
由题意可知 f(x) 的定义域为 (0 ，＋ ∞) ．在同一直
角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的 图象，如图所示：由图可知函数 f(x) 在定义域内的零点 个数为2. 答案 C
A．y＝sin x
解析
B．y＝ln x
C．y＝ex
D．y＝x3
对函数 y＝sin x 求导，得 y′＝cos x，当 x＝0 时，该点处切线 l1 的斜率 k1＝1，
当 x＝π 时，该点处切线 l2 的斜率 k2＝－1，∴k1· k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数 y＝ln x 1 求导，得 y′＝ x(x＞0)恒大于 0，斜率之积不可能为－1；对函数 y＝ex 求导，得 y′＝ ex 恒大于 0，斜率之积不可能为－1；对函数 y＝x3，得 y′＝3x2 恒大于等于 0，斜率 之积不可能为－1.故选 A.
答案 (1)B (2)D
题型概述
方法突破
归纳总结
探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情 况再检验，或改用其他方法求解．
题型概述
方法突破
归纳总结
【训练2】 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( A．130 B．170 C．210 D．260
解析
) C．8 D．9
B．7
→ → 由 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上，且 AB⊥BC，∴AC 为圆直径，故PA＋PC＝
→ → → 2PO＝(－4，0)．设 B(x，y)，则 x2＋y2＝1 且 x∈[－1，1]，PB＝(x－2，y)，所以PA → → → → → ＋PB＋PC＝(x－6， y) ． 故|PA＋PB＋PC|＝ －12x＋37， ∴x＝－1 时有最大值 49＝ 7，故选 B.
题型概述
方法突破
归纳总结
【训练 3】 (1)方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是( A．0＜a≤1 C．a≤1 B．a＜1 D．0＜a≤1 或 a＜0 )
)
π 1 2 (2)已知 f(x)＝ x ＋sin2＋x，则 f′(x)的图象是( 4
题型概述
方法突破
归纳总结
)
解析
取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而
a3＝110，故S3＝210. 答案 C
题型概述
方法突破
归纳总结
方法三
排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符 合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的
答案 B
题型概述
方法突破
归纳总结
方法二
特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设
条件的特殊函数或图形位置进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注
意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊 数列等．适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题．
题型概述
方法突破
归纳总结
【训练 5】 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体 的正视图的面积不可能等于( A．1
解析
) 2－1 C. 2 2＋1 D. 2
B. 2
由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边
2－1 长，另一边长最小为 1，最大为 2，面积范围应为[1， 2]，不可能等于 2 .
“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．
题型概述
方法突破
归纳总结
探究提高
图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直
接计算求解更能简捷地得到结果．运用图解法解题一定要对有关函数图象、方
程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择．
题型概述
方法突破
归纳总结
【训练4】 (2018· 全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素 的个数为( )
)
B．若 f(a)≤2b，则 a≤b D．若 f(a)≥2b，则 a≥b f(f(a))＝2f(a)的 a 的取值范围是( D．[1，＋∞) )
3x－1，x＜1， f(x)＝ x 则满足 2 ，x≥1，
B．[0，1]
2 C.3，＋∞
解析
x，x≥0， (1)∵|x|＝ ∴根据题意可取 －x，x＜0，
题型概述
方法突破
归纳总结
探究提高 除几个．
(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔
(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项．
(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排
除． (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的． (5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断．
技法——巧解客观题的10大妙招
(一)选择题的解法
题型概述
方法突破
归纳总结
选择题是高考试题的三大题型之一，浙江卷10个选择题．该题型的基本特点：绝大 部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型 综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能 力．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题
A．f(x)＜－1 C．f(x)＞1
题型概述
方法突破
归纳总结
解析
(1)将 P，来自百度文库 置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件 A1P＝BQ(＝0)，
VABC－A1B1C1 则有 VC－AA1B＝VA1－ABC＝ .
3
(2)取特殊函数．设 f(x)＝2x，显然满足 f(x＋y)＝f(x)· f(y)(即 2x＋y＝2x· 2y)，且满足 x＞0 时，f(x)＞1，根据指数函数的性质，当 x＜0 时，0＜2x＜1，即 0＜f(x)＜1.