二面角求值方法八种

【摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。

【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法

1.1定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。

1.2用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。

1.3求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。

1.4常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。②等腰三角形“中线是高线”的性质。③勾股定理的逆定理。④菱形对角线互相垂直的性质。⑤线面垂直则线线垂直的性质。⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同）

例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。

解：过点A作AN⊥CM，垂足为N，连BN，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连QN，QC，由三垂线的逆定理知：MC⊥NQ，由三垂线定理知：BN⊥MC，故∠ANB为所求二面角的平面角。

由勾股定理的逆定理知：BC⊥AC，再由三垂线定理知：BC⊥PC，由直角三角形中线的性质有：MA=MC，由等面积求高法知：AN=NB=305，在△ANB 中，由余弦定理有：cos∠ANB=AN2+BN2-AB22AN·BN=-23，从而所求二面角的大小是：π-arccos23

题评：本例也可以先证△AMC≌△BMC，再利用“同一法”得出BN⊥MC。本问题求解的过程，涵盖了“利用三垂线定理及逆命题研究线线垂直”，“已知三

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

专题二：二面角的五种方法

专题二：二面角的五种方法一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 例1.如图, 过正方形ABCD的顶点A作P A⊥平面ABCD, 设P A=A B=a,求二面角B-PC-D 的大小. 例2.二面角α-BC-β大小为120°, A∈α,B∈β, 且AB⊥BC,BC⊥CD, AB=BC=CD=1, 求二面角A-BD-C的正切值. 二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角. 例3.⑴空间三条射线P A,PB,PC不共面, 若∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°, 则二面角B-P A-C的大小是______； ⑵已知∠AOB=90° , 过O点引∠AOB所在平面的斜线OC, 使它与OA,OB分别成45°,60°的角, 则二面角A-OC-B的余弦值为______. 例4.如图, 在△ABC中, AB⊥BC, SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC, 且分别交AC,SC 于D,E, 又SA=AB, SB=BC, 求二面角E-BD-C的大小. 三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 所以要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角. 例5.直角梯形ABCD中, AB⊥AD, AD⊥CD, AB=2, CD=4, 平面P AD⊥平面ABCD, △PBC是边长为10的正三角形, 求平面P AD和平面PBC所成二面角的大小. 例6.设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小. 四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角. 例7.已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等. 例8.二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a, B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角;求△BCD面积的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小. 五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面

求二面角大小的直接计算法(讲稿)

求二面角大小的直接计算法肖德凯利用向量求二面角，如何判断所求二面角是锐角或钝角？现行中学数学教材或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定；常见的大学数学教材亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量，所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等, 也可能互补；而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的, 点积法的缺陷是不能控制法向量的方向, 所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角. 本文介绍一种利用向量外积控制平面法向量方向,借助两平面法向量所成角与两平面所成二面角的关系,直接计算二面角并判断其为锐角或钝角的方法. 为此我们首先介绍向量外积概念及运算法则. 1 二阶行列式的概念及运算法则由于二阶行列式与向量外积的计算密切相关,故我们先简要介绍二阶行列式. 二阶行列式源于解二元一次方程组,它的定义是: 1112212 2 x y x y x y x y =- 例1.1 计算 3437(2)421829 2 7 =?--?=+=-. 2 向量外积 2.1设a 、b 为同一平面内起点重合的非共线向量，则a 、b 外积n 表示为n =a ?b ,其结果n 仍然是一个向量,方向与a 、b 所在平面垂直.向量外积的确切的方向根据右手法则确定(如图2.1): 伸开右手

掌，使拇指与其余四指垂直，将手腕与a 和b 的始端重合,拇指之外的四指与a 同向,使得手掌弯曲指向b ,但这时a 到b 的角度必须小于180 ,此时大拇指指向的方向就是a ?b 的方向,即a 、b 所在平面的法向量的一个方向[一个平面的法向量的方向共有两个(共线的两个),指向平面的两侧,通常并不确定是其中哪一个方向]. 2.2 向量外积的计算法则若 ()111x ,y ,z a =,()222x ,y ,z b =,则 () () ()1112221111112 2 2 2 2 2122112211221x ,y ,z x ,y ,z y z x z x y ,, y z x z x y y z y z ,x z x z ,x y x y . a b ?= ??? =- ??? =--+- 例2.1 已知11(,,1)2 2 a =-,11 (,,1)2 2 b =---;求a b ?. 1 1,, 12211,,1221 111112222,, 11111 12 2 2 211,0,. 2a b ?? ?=- ??? ?? ?--- ? ?? ?? - - ? ?=- ?----- - ???? ?=- ?? ?解 3 求二面角大小的直接算法如图1, 设二面角C-AB-E 的大小为θ,平面ABEF 的法向量为n , 平面ABCD 的法向量为m 1;

二面角的计算(方法加经典题型)

二面角的求法（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α C B A

例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。（I ）求证：//PA 平面EDB ；（II ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求二面角P BC D --的大小。 2、如图1-125， PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小的正切值。 18、（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；（Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A C D P E

用三垂线法求二面角地方法(新)

用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB 证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α ∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直. 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD == ，AD =①求二面角 C AB D --的大小；②求二面角B CD A --的大小； 1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥ ∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4 π ∴二面角C AB D --的大小为 4 π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥ ∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥ ∴BD = =∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥ ∴1AB = =在Rt ABC ?中，tan 1AB ACB BC ∠= =， ∴二面角B CD A --的大小为 4 π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线AC 及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。 A B D C

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。提示：PAB PCD ?，而且是直角三角形 P

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中，例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

二面角的计算方法精讲

图1 二面角的计算方法精讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有： ⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线； ⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是所求二面角的平面角。 ⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小．解：（1）证明： V A D A B C D A B A D A B V A D A B A B C D A D V A D A B C D ⊥? ?⊥??⊥????=? 平面平面平面平面平面平面（2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△V AD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知， BD VB,= == ∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， ∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， AB ，

因此，tan ∠AEB= .3 3 2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33 2arctan 例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面 BCD 成30°的角，且AB=BC. （1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小；（2）求二面角C-AD-B 的大小；（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ， ∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ，又∵DC ⊥BC ，AB BC B = , ∴ CD ⊥平面ABC ， ∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122== a a CD AC , ∴ 0 45=∠DAC , 即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ?面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ，又∵ 面ABD 面BCD=BD ，BCD CE ?面，CE ⊥BD ， ∴ CE ⊥面ABD ，又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD ⊥EF ，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角. 计算可知, BC CD CE BD ?=，2AD a,==1 2 CF AD a ==， ∴ CE sin CFE CF ∠= =，∴∠. 故，所求的二面角为

二面角问题求解方法大全

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例2．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。练习2如图，在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点， PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

求二面角的五种方法

五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G

二面角的几种求法

Aβ在V A OC中，OC=a,O A=a,AC=a,.. 二面角的几种求法河北省武安市第一中学李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。关键词：二面角平面角三垂线定理空间向量在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。一：二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角α-l-β的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO⊥l,BO⊥l，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角。 α A B l 二：二面角的通常求法：O O B 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a,BD=2a.求二面角A-BD-C的大小。解:取BD的中点为O，分别连接AO、CO Q AB=AD,BC=CD ∴AO⊥BD,C O⊥BD ∴∠A OC为二面角A-BD-C的平面角 Q AB=AD=a,BD=2a A ∴AO=2 2 a Q BC=CD=a,BD=2a 2 ∴OC=a 2B O D 22 22 OA2+OC2=AC2 ∴∠A OC=900 即二面角A-BD-C为900的二面角 C

(完整版)二面角典型习题

二面角 1.二面角的计算： 1）定义法； 2）三垂线定理法； 3）垂面法； 4）面积射影法；例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=?∠=?，求此二面角的度数。例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ???与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（）（A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ= （C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=

例4、在120?的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。（2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。例5、已知二面角MN αβ--为60?，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60?，且5,45AC MCB = ∠=?，求线段AB 的长。例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈?的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30?角，当θ变化时，求DBC ?面积最大值。

例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=?， 45PA ABC PBA ⊥∠=?面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。例8、在正方体1111ABCD A B C D -中，利用cos S S θ=射影解下列各题 1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值 2）求二面角11C BD C --的大小； 3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点（1）求二面角的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B

2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5

高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, а?α ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA ?平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°

2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1 C 1 D 1 中由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE=5 3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD ?平面PCD ， B C 所以平面PCD ⊥平面PAD ．同理可证平面PAB ⊥平面PAD ．因为平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，平面PAB ∩平面PAD ＝PA ，所以PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°． A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO

求二面角的方法收集

二面角一．二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二．二面角的平面角的特点：① 顶点在棱上；② 两条边分别在两个平面内；③ 与棱都垂直。三．二面角的平面角的范围：( ]0 0180 ,0∈α 四．求二面角的平面角的方法：1.定义法（或垂面法）图 A 2.三垂线法图B 3.射影面积法图C 典型例题：方法一：定义法 1．已知090=∠AOB ，过点O 引AOB ∠所在平面的斜线OC 与OA ，OB 分别成045， 60角，求二面角B OC A --的大小。 b a P 图A R Q P 图C 图B B A Q P

2．D 是ABC ?所在平面外一点，连接a AB CD BD AD 2,,,= ， a CD BD AD BC AC =====,则二面角B CD A --的余弦值是_________________. 3．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，那么截面BD A 1和截面EBD 所成的二面角为______________ 4．在ABC ?中，ABC ,平面⊥⊥SA BC AB ,DE 垂直平分SC ,且分别交SC AC ,于E D ,，又BC SB AB SA ==,,求二面角C BD E --的大小。 O C B A E D1 B1 C1 A1 D C B A S E D C B A

5．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角P BD A --1的大小。 6．如图，已知点P 为正方体1111D C B A ABCD -的棱11B A 的中点，求二面角1D AC P --的余弦值。方法二：三垂线法： 7．如图所示，平面⊥ABC 平面ABD CB CA ACB ABD ?==∠,,90,0 是正三角形，则二面角A BD C --的平面角的正切角为___________________ （ 3 3 2） D1 B1 C1 A1 D C B A P D1 B1 C1 A1 D C B A P

射影面积法求二面角.

射影面积法（cos S S 射影原 q = ）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S = θ）求出二面角的大小。例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=2 1 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可，故所求的二面角θ应满足cos θ= 1 11?? 。例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P

解：（Ⅰ）证略（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =， BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影，于是可求得： 2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ， 2==EC AE 则1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 1 21=?=?= =?EB AE S S ABE 原设二面角B AP C --的大小为?，则3 3 3 1cos = = = 原射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ= 3 2）. A C B E P A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

求二面角的基本方法

求二面角的基本方法 ——定义法与法向量法一、在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1 如图1,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC,且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 解析由于SB ＝BC,且E 是SC 的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC 底边SC 的中线,所以SC ⊥BE. 又已知SC ⊥DE,BE ∩DE ＝E, ∴SC ⊥面BDE,∴SC ⊥BD. 又∵SA ⊥底面ABC,BD 在底面ABC 上,∴SA ⊥BD. 而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC. ∵DE ＝面SAC ∩面BDE,DC ＝面SAC ∩面BDC, ∴BD ⊥DE,BD ⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC.设SA ＝a, 又因为AB ⊥ BC, ∴∠ACS ＝30.又DE ⊥SC, 所以∠EDC ＝60°即所求的二面角等于60°. 二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M 向另一个半平面引 1 图

垂线（垂足为H ），过H 向棱l 引垂线（垂足为N ），由三垂线定理可知l PN ⊥，则PNH ∠即为平面角（或其补角）。例2 如图2，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ?沿11C B 折起到111C B A ?的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：二面角M C B A --111 的大小。解析连接AM ，A 1G ，∵G 是正三角形ABC 的中心，且M 为BC 的中点， ∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC(图3) ． ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1， GA 1⊥B 1C 1，∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角． ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°。在Rt △A 1GM 中，由 A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=60°，即二面角A 1— B 1 C 1—M 的大小是60°。对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是：先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考虑使用射影面积公式S S 射影 =θcos ，这里给出下述两例：例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．解析延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所 2图3图4 图

找二面角的平面角的方法汇总

找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角．分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ．因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明图1 图2

求二面角方法定义法

二面角——1定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为θ，则侧面三角形射影三角形S S = θcos ，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性 1.如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2 ，求：二面角A －BD －C 、B －AC －D 的大小 A B D

解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC 在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝ BD ＝2， ∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD ∴∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角。又AO ＝OC ＝1，AC ∴∠AOC ＝90° 即二面角A －BD －C 为直二面角。 (2)取AC 的中点E ，连BE 、DE ∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ， ∴∠BED 就是二面角的平面角在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝2 由余弦定理，得1cos 3 α=- 2.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求二面角B －PC －D 的大小。 A B C D O E P B A D