定积分及其应用.ppt

t i t i t i 1 ,
（2）近似代替
令 T max{ t1 , t2 ,, tn }，
i [t i 1 , t i ] , i 1,2,, n. si v( i )t i n （3）求和 S v ( i )t i
i 1
（4）取极限
S lim
T 0
v (
i 1
n
i
)t i
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a , b ]中任意插入 在
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把区间[a , b]分成 n个小区间，各小区间的长度依次为
b b a a
于是
a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
(绝对值不等式性质) 性质5的推论：
（2） f ( x )dx
a b
a
b
f ( x )dx.
(a b)
证明 f ( x) f ( x ) f ( x ) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲 边梯形面积．
例如，求由曲线 x , 直线y 0, x 0, x 1所围 y
2
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0 i 1
i 1 n n
0 i 1
a f ( x )dx g( x )dx. a
b
b
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
证明
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
b
( k 0 为常数).
a kf ( x )dx lim kf ( i )xi 0 i 1
y f ( x)
前

a



b
特别，当 f ( x ) 1 时，有 a 1 dx (b a ) 1 b a .
b
例2 利 用 定 积 分 的 几 何 意 ， 计 算 下 列 积 分 义
1 (1) xdx 2 2 2 . 2 0
( 2) R x dx
被 积 函 数
n i 1 i
lim
f ( )x
i
n
积分和 或黎曼和
i
若 lim
T 0
f ( )x
被 积 表 达 式
积 分 变 量
i
[a , b ] 称 为 积分区间 .
黎曼积分
[a , b] 上不可积.
不存在， 则称 f ( x ) 在
注意: 1o . 定积分是积分和的极限 ，其结果是一个数， 它只与被积函数 f 和积分区间[a , b] 有关，而与 所用的积分变量的记号 无关 .
曲边梯形面积为
A
lim
T 0
f (
i 1
n
i
)x i
求曲边梯形面积所用的方法步骤：
分割、近似代替、求和、 取极限 .
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 v v (t )是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
c b
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0.
a
n
(a b)
证明 f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)
b b b
即 f ( x )dx f ( x )dx .
a
b
b
a
(a b )
说明： | f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
例 3 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
第五章 定积分及其应用
本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变 上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分 法、分部积分法、广义积分。 数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大 门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理 学和社会科学。会有这样一天，经济的争执 能够用数学以一种没有争吵的方式来解决， 现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。 伽德纳
b
n
1,2,, n)
m f ( x )dx l i0 f ( i )xi T
a
i 1
lim
n i 1
n
ba ba f (a i) . n n
例1 利用定义计算定积分
i 解 T 把 [0,1] n 等分，xi ( i 1, , n) , n 1 xi xi xi 1 ， 取 i xi ，( i 1,2, , n ) n 2 n n n n 2 i 1 2 f ( i )xi i xi i 1 xi xi n n i 1 i 1 i 1
Archimedes
第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形:由连续曲线
y f ( x) ( f ( x ) 0) 、
o
a y
y f ( x)
A?
b
x 轴与两条直线 x a 、
x
x b 所围成的平面图形 .
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
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1 0
x 2dx.


1 3 n

1 n( n 1)(2n 1) i 3 , n 6 i 1
2
n 2 i 1
n
T 0 n

1 0
x dx lim T 0
2
n( n 1)( 2n 1) 1 i xi lim . 3 n 6n 3
定积分的几何意义
f ( x ) 0,
f ( x ) 0,
b a b
a
f ( x )dx A 曲边梯形的面积
f ( x)dx A 曲边梯形的面积的负值
y f ( x)

a
1 A
A2

A3

b
A4
f ( x )dx
b a
A1 A2 A3 A4
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 数 和 ． 代 在 x 轴上方的面积取正号在 x 轴下方的面 ； 前 积取负号．
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
i 1
n
如果不论对[a , b ] 记 ||T|| max{x1 , x2 ,, xn } ，
则 a f ( x )dx a g( x )dx.
b b
(a b )
证明 f ( x ) g( x ),
g( x ) f ( x ) 0,

a [ g( x ) f ( x )]dx 0,
b
(a b )
即 g( x )dx f ( x )dx 0,
o a
x1 xi i x i 1
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
A i f (i )xi
（3）求和 （4）取极限
A Ai f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
当分割无限加细 ,
即 T max{ x1 , x2 ,xn } 0 时，
也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上 怎样的分法，
点 i 怎样的取法， 只要当 || T || 0 时，和 S 总趋于
I 我们称这个极限 为函数 f ( x ) I 确定的极限 ，
记为 在区间[a , b] 上的定积分，
积分上限
a
积分下限
b
f ( x )dx I ||T ||0 i 1
播放
曲边梯形如图所示：
（1）分割 T : a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n 个小区间 xi 1 , xi ] [ ，长度为 y x x x ;
i i i 1
y f ( x)
（2）近似代替
i [ xi 1 , xi ] , i 1, 2, , n.
2 2 0 R
2
y
yx
2
R
4
2
o
x
y
y R 2 x2
R
( 3) x 3 dx 0
1
1
o
x
定积分存在定理(可积充分条件)
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数
f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
补充：不论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
a b c,
b c c c
f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
则 a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
lim k f ( i )xi k lim f ( i )xi
0
i 1 n n
n
0 i 1
k a f ( x )dx.
b
性质3
b
假设a c b
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
例 若
c a b
f ( x )dx .
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上
速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
设一物体M 以变速v v(t ) 作直线运动 , 求该物体从时刻 到时刻b 的运动路程 . a S
（1）分割 T : a t0 t1 t 2 t n1 t n b
4 . 如果 f ( x ) 在 [a, b] 上可积 ， 则
o

b a
f ( x )dx 某特殊积分和 的极限 .
xi xi 1 ba , n
若取T : 把[a, b] n 等分, 则 xi
ba 取 i xi a i , (i n 则当 T 0 n ,
性质1 证明
b
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g ( i )]xi 0
lim f ( i )xi lim g( i )xi
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
三、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
xi 0,
f ( )x
i 1 i
i
0,
|| T || max{x1 , x2 ,, xn }
lim
||T ||0
f ( )x a
i 1 i i
n
b
f ( x )dx 0.
性质5的推论： 定积分不等式性质） （
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
即

b a
f ( x )dx f ( t )dt a f ( u)du .
b
b
a
2o . 当 T 0, 分点个数 n ; 但反之不然.
不存在 ， 3o . 若 f 在 [a, b] 的某一个积分和的极限
或若 f 在 [a , b] 的某两个积分和的极限 都存在但 则 极限值 不相等， f ( x ) 在 [ a , b ] 上不可积 .