偏导数与全微分习题
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偏导数与全微分习题 1.设 f(x,y) x (y
1)arcs in
v y
x
，求 f x (X, 1)。 2.习题8 17
题。 3.设 f (x, y)
ysin
1 2 2
x y
x 2
x 2
在点（0,0）
的偏导数。
4.考察
xysin
f(x,y)
x 2
x 2
(0,0) 5.证
处的可微性
f(x,y)
点（0,0） 2 2
(x 2
y 2
)si n — 1
2 2
x y
x 2
x 2
，考察 f (x, y) 0 2 y 连续且偏导数存在，但偏导数在（
不连续，而f （x, y ）在点（0,0）可微
0,0)
1.设f(x,y) x (y 1)arcsi n △，求f x(x, 1)。V y
f x (x, y) 1 (y
f x(x, 1) 1
ln(( x a)2
2
2(x a)
2 2 (y b)2),
(x a)
2 2 ' (x a)2 (y
b)2
2( y b) (x a)2
(y b)2
(x
a)2 (y b)2 ((x
a)2
(y b)2)2
(y b)2 (x a)2 ((x a)2 (y b)2)2
(x a)2
(y b)2 2(y b)2
((x
a)2
(y b)2)2
(x a)2
(y b)
2
2
2.习题8 17
题。 17.设 z 2
明一^
o
2
2
x y
In , (x
2
—0。 a)* 2 (y b)2
(a, b 为常数)，证 先化简函数 (y b) 2 2 ?
(x a)2
(y b)2
2(x a)2 2
z
2
X
2
z
2
y
2
z
2
X
在点（0,0）的偏导数 由偏导数定义可知
f( x , 0)
f (0, 0)
f x (0, 0)
lim ——
lim 0
0,
x 0
x
x 0
f (0,
y) f(0, 0)
1 f y (0, 0) lim
y 0
y
—— lim
y
sin 2
0 y 2
不存在。
3.设 f (x, y)
ysin
x 2
x 2
x 2
2 y 2
y
o
，考察 f (X, y) 0
f(0, y) f(0, 0) lim
y 0
则 dz=0,
1 y) f (0, 0) x ysin 2
2
(x)2
( y)
2xy sin
4.考察 f (x, y)
x 2
x 2
(0,0)处的可微性。
由偏导数定义可知
f x (O, 0)
f( lim — x 0
x, 0) f (0, 0) f y (0, 0) f dz f( x,
要讨论在（0,0）点可微性，即讨论极限lim f ^z 是
否趋于0,
这是因为
1 2 2
2 ( x)2 ( y)2
f （x, y ）在点（0,0）处的可微
lim
f dz
lim
ysin
1 (x)2
( y)2
\( x)2
( y)2
ysi n
1
2 2
(x)2
( y)2
(x)2
(y)2 1 ( x)2 ( y)2 2
( x)2
( y)2
4.证明函数
f(x,y)
(x2
y2)s
W
x 2
x 2
点(0,0)连续且偏导数存在，
不连续，而f (x, y)在点(0,0)可微。 (1)连续
2
l f(x,y) f(0,0)| |(x 2
|x 2 故 f (x, y)在( 0,0)点连续; (2)偏导数存在
由偏导数定义
2 y 但偏导数在(
2 1
y )sin 2
x
y 2l ,
f x (0, 0) lim
f(x ,
0)
f(0,
0)
x 0
x
lim
x
同理 f x (0, 0)
0，偏导数存在;
0,0)
y 21
2 1
(x) sin l x| 0
x