因式分解培优题型归纳总结完美

因式分解题型归纳总结

知识梳理

一、因式分解得定义：

把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．

二、因式分解常见形式：

三、因式分解基本方法：

“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．

①提取公因式法

几个整式都含有的因式称为它们的公因式．

例如：()

2+4+6=2+2+3

ma mb mc m a b c

把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．

②公式法

因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．

平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-

完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+

三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2

完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1

221()()n

n

n n n n a b a b a

a b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1

221()()n

n

n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+

-+（n 为正奇数）

③分组分解法

一般地，分组分解大致分为三步：

i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、

十字相乘法

五、

双十字相乘法

双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：

对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；

（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、

换元法

如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、

主元法

在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、

拆项和添项法

1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．

2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、

待定系数法

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++

++=+++

++恒成立，那么

n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．

待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、

余数定理与因式定理法

1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．

2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x

－a 必为多项式f （x ）的一个因式．

3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －

1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：

性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．

例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（p

q

为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式1

2

x -

，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．

观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．

x x x x x x x x x x x x x x 23232

22+-2

-1+0⋅-3+2

--3--2+2-2+2

∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．

题型一 因式分解的定义

例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4

C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7

D ．()()m m m 24-9=2+32-3

解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。故选 巩固1： （1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．()ab a b a b ab 223+=3+3 B ．x x x x 222⎛⎫

2+4=21+ ⎪⎝⎭

C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2

D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2