2015级组合数学复习题解答

解 (1) 若选出的物体有 k ( k 0,1, 2, , n) 个不 相同,则其余n - k个是相同的,所以选取的方法数为 n n n n 2 0 1 n (2) 类似于(1)的分析可知，所以选取的方法数为 2n 1 2n 1 2n 1 1 2n1 2n 2 2 0 1 n 2
5n 1 故 an 2
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9.有多少个长度为n的0与1串, 在这些串中, 既不 包含子串010，也不包含子串101？
解 设这种数串的个数为 f n , 则f1 2，f2 4，
n 3时， 将满足条件的数串分为两类：
(1) 最后两位数字相同. 这种长度为n的数串可 由长度为n-1的串最后一位数字重复一次而得，故 这类数串的个数 f n1；
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 =14 x1 0，x7 0，xi 1, i 2, 3, , 6
2
作变量代换
y1 x1，y7 x7，yi xi 1, i 2, 3, , 6
则原方程变成
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 9 yi 0, i 1, 2, 3, , 7
组合数学练习题(一)
1. 有20根完全相同的木棍从左至右竖立成一行， 占 据20个位置. 要从中选出6根. (1) 有多少种选择？
(2) 如果选出的木棍中没有两根是位置相邻的，
又有多少种选择？ (3) 如果选出的每一对木棍之间必须至少有两 根木棍，又有多少种选择？
20 解 (1) 有 种. 6
G ( x ) (1 x 2 x 4 )(1 x x 2 ) (1 x 3 x 6 )(1 x )
1 1 x3 1 1 (1 x ) 2 3 2 1 x 1 x 1 x (1 x )
10
n 1 n n x ( n 1)x n 0 n n 0
5
3. 用 m( m 2) 种颜色去涂 1 n ( n m) 棋盘， 每格涂一种颜色，求使得相邻格子异色，首末两格
也异色的涂色方法数.
解 用hn表示所求方法数.易知 h2 m( m 1).
用m种颜色去涂 1 n ( n m) 棋盘，每格涂一种颜
n1 m ( m 1) 色，使得相邻格子异色的涂色方法数有
种，由乘法原理,得所求涂色方法数为
K ( m, n) m(m 2)n (1)n m( m 2)
9
5. 将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨这4种水果 装袋，要求各袋有偶数个苹果，最多2个橘子，3的
倍数个香蕉，最多1个梨. 如果每袋装n个水果，求装
袋的种类数.
解 所求种类数an的母函数为
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10
n1
an1 个.
于是得递推关系
an 9an 1 (10n1 an 1 ) an 8an 1 10n 1 即 a1 9 a1 9
解得通解 an C 8 5 10
n n1
1 , 代入初始条件得 C . 2
故所求有效数字有
an 4 8n1 5 10n1
个.
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14.把 n( n 4) 件彼此相异的物品分给甲、乙、 丙三人，使得甲至少分得两件物品，乙和丙至少分
得一件物品，有多少种不同的分法？ 解 设有N种不同的分法. 因为把n件彼此相异 的物品分给3个人，使得每人至少分得一件物品的 方法共有 3 3 i 3 n 3! S2 (n, k ) (1) i 3n 3 2n 3 i 0 i
解得
13 3 65 13 3 65 n an (5 65) (5 65) n 52 52
20
12. 在一圆周上均匀地取2n个点，用n条两两 不相交的弦把这些点配成对，求所有这种配对的
方式数.
解 设所求配对的方式数为hn,则h1 = 1,则h0 = 1,
，v2k， ，v2n , 连接 设2n个点依次为 v1，v2， v1，v2k , 则将圆周一分为二,一边有2(k -1)个点,
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10. 由0,1,2,3组成的长度为n的序列中，求含
偶数个0的序列个数和含奇数个0的序列个数. 解 设an为含偶数个0的序列个数，bn为含奇 数个0的序列个数.则有
an bn 4 n an bn1 3an1
解得
an 2n1 2 4n1 , bn 4n an 4n (2n1 2 4n1 )
解 显然 a1 9.
若末位数是1到9中某个数，则前面n-1位组成的 有效数有an-1个，因此，末位数不是0的n位有效数字 有 9 an-1个.
若末位数是0，则这样的n位十进制数有10n-1个， 而不是有效数的有 an-1个 (因n-1位的有效数后面添一 个0就不是有效数了), 所以末位数是0的有效数有
这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数
9 7 1 15 5005 9 9
3
(3) 同(2)中的分析，此时有不定方程
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 =14 x1 0，x7 0，wenku.baidu.comi 2, i 2, 3, , 6
如下两个步骤去完成V的n + 1 个顶点的涂色工作: 先涂顶点v0,有m种涂色方法; 然后用异于v0颜色的m - 1种颜色
v0
vn
v1
v2
v3
去涂顶点序列v1， v2，…， vn, 使得相邻顶点异色
且首末两个顶点也异色.
8
由上题可知,完成此步骤的方法有
( m 2)n ( 1)n ( m 2)
仿照(2)，这个方程的非负整数解的个数即为所求 的选择数
4 7 1 10 210 4 4
4
2. (1) 在2n个物体中有n个是相同的，则从这2n
个物体中选取n个的方法有几种？ (2) 在3n +1个物体中有n个是相同的，则从这 3n +1个物体中选取n个的方法有几种？
m( m 1)
n1
m( m 1)
n 2

( 1) n3 m( m 1) 2 ( 1) n2 m( m 1)
m( m 1)[( m 1) n 2 ( m 1) n 3 ( 1)n3 ( m 1) ( 1) n2 ]
解 设所求的数为an,则{an}的指母函数为
x2 x3 Ge ( x ) ( x )9 ( e x 1)9 2! 3! n 9 9 9 9 x ( 1)k e (9k ) x ( 1)k (9 k )n n! k 0 k k 0 k n 0
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e e 2
x
x
3x e e e 2
x
2
x
3x e
2
n n 1 5x 1 x x ( e e x ) ( 5n ) 2 2 n 0 n ! n 0 n !
5n 1 x n 2 n! n 0

12
e x e x e x e x 2 x e4 x 1 e 2 2 4
n 1 4n x n x 4n1 4 n1 n ! n! n1
n1 a 4 . 所以 n
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7. 由数字1至9组成的每种数字至少出现1次的
n( n 9) 位数有多少个？
中，要求a与b的个数之和为偶数，求这样的单词
的个数.
解 这样的单词有两类：一类包括偶数个a与 偶数个b；另一类包括奇数个a与奇数个b.设所求 的数为an,则{an}的指母函数为
2 3 x2 x4 x x Ge ( x ) (1 ) 2 (1 x ) 3 2! 4! 2! 3! 2 3 x 3 x5 x x (x ) 2 (1 x ) 3 3! 5! 2! 3!
种,其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1种,所以
hn m(m 1)
从而
n1
hn1 (n 2)
6
hn m( m 1) n1 hn1 m( m 1) n1 m( m 1) n 2 ( 1) 2 hn 2
m(m 1)n1 m(m 1)n2 m(m 1)n3 (1)3 hn3
2( n 1)
1
配对方式数为hk-1, 另一边有 2(n-k)个点，配对方式数为hn-k.
2k
2
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于是
hn hk 1 hnk h0 hn1 h1 hn 2 hn1 h0
k 1
n
解得
1 2n hn n1 n
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13.一个计算机系统把一个十进制数字串作为一个 编码字，如果它包含偶数个0，就是有效的.求有效的n 位编码字的个数an .
1
(2) 所选出的6根木棍实际上可将这20根排成 一行的木棍分割成7段(加上首和尾).设所选左边第
1根木棍的左侧有x1根未被选中的木棍；在第1 与
第2根所选木棍之间有x2根未被选中的木棍；…； 在第5 与第6根所选木棍之间有x6根未被选中的木 棍；在第6根所选木棍的右侧有x7根未被选中的木 棍，则由于没有两根选出的木棍是相邻的，所以
2 4n1 2n1
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11. 十个数字(0到9)和四个运算符( +，-，*，/ )
组成14个元素，求由其中的n个元素的排列构成一
形式算术表达式的个数. 解 令an表示n个元素排列成算术表达式的数目，
则
an 10an1 40an 2 a1 10, a2 120
n 9 9 x ( 1) k (9 k ) n n 0 k 0 k n! 9 k 9 所以 an ( 1) (9 k ) n k 0 k
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8. 由字母a,b,c,d,e组成的总字母数为n的单词
( m 1)n1 ( 1) n2 m( m 1) ( m 1)n ( 1)n ( m 1) ( m 1) 1
7
4. 用 m( m 3) 种颜色去涂 n ( n 3) 棱锥的 n + 1个顶点,每个顶点涂一种颜色，求使得棱锥的
每条棱的两个端点异色的涂色方法数 K ( m, n). 解 设V是一个n棱锥,则可依
所以an n 1.
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6. 把n个相异的球放到4个相异盒子A1 , A2 , A3 , A4 中，求使得 A1 含有奇数个球，A2 含有偶数个球的不 同的放球方法数.
解 设满足条件的放球方法数为 an .
则数列{an }对应的指母函数为
x 3 x5 x 2 x4 Ge ( x ) ( x )(1 ) 3! 5! 2! 4! x2 x3 (1 x )2 2! 3!
(2) 最后两位数字不同. 这种长度为n的数串可 由长度为n-2的串最后一位(设为a)重复一次，再加 上与a不同的数字而得, 故这类数串的个数为 f n 2 .
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于是得递推关系
f n f n 1 f n 2 f1 2, f 2 4
由Fibonacci数列,得通解 1 5 n 1 5 n f n c1 ( ) c2 ( ) 2 2 代入初值,得 5 5 5 5 c1 , c2 5 5 2 1 5 n1 1 5 n1 所以 f n ) ( ) ( 2 2 5