清华大学2006年数学分析试题

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清华大学2006年数学分析试题

1. 简述有界变差数列，并证明：有界变差数列一定收敛。

2. 证明若f(x)在区间I 上处处连续，且为一一映射，则f(x)在I 上必为严格单调。

3. 设f(x)在区间[a,b]上非负且三阶可导，方程f(x)=0在(a,b)内有两个不同实根。证明

(,)a b ξ∃∈使(3)()0f ξ=。

4. 设f(x)在区间[a,b]上连续，求证

()()b b

a a f x dx f a

b x dx =+-⎰⎰，并计算23

6(cos )(2)

x dx x x πππ-⎰。 5. 比较1()n n +与(1)n n +的大小，取n>8.

6. 设在任意的有穷区间[0,A]上f(n)正常R 可积，且lim ()0x f x →+∞=，求证：

01lim

()0t x f x dx t →+∞=⎰ 7. 证明20xy x e dy +∞

-⎰在x>0上一致收敛。

8. 证明：对连续函数f(x)有

2221

11()2()x y z f z ds f t dt π-++==⎰⎰⎰⎰ 。 9. 已知f(x)可导，()()f x f x a '+→，()x →+∞。则x →+∞时有()f x a →，

()0f x '→。