苏教版数学高一必修4素材 1.3理解三角函数的周期性

1.3 理解三角函数的周期性

问题的提出

等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．

函数周期性定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

1.理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭

， π2

∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，若T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；

若T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，则kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．

2.最小正周期的概念

如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．

例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π．

例1 求下列函数的最小正周期T ．

（1）()3sin f x x =；

（2）()sin 2f x x =；

（3）1π()2sin 2

4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：（1）()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =．

（2）()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；

（3）1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)2

4x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．

总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；

tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．

例2 求证：1π2sin 2

3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 2

3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12

=， 根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π． 注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．