角的平分线的性质(提高)知识讲解

角的平分线的性质（提高）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于1

2

DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质及判定

1、（2014秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．

（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；

（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE=ED ．

举一反三：

【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且

DB ＝DC.

求证：BE ＝CF.

2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面

积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）

A.11

B.5.5

C.7

D.3.5

3、（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）

A．8 B．6 C．4 D．2

类型二、角的平分线的性质综合应用

4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.

举一反三：

【变式】（2014秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD 的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC；

（3）求证：AB+CD=AC．

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分

∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, (2)AE＝CE (3)OA＝OB＝OD＝OE (4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.（2016•招远市模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）

A．4 B．3 C．6 D．5

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分

线交于E点，则∠AEB＝（）

A.50°

B.45°

C.40° D .35°

4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.

若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）

A.①③

B.②③

C.①②

D.①②③

5.（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，

要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A ．△ABC 的三条中线的交点

B ．△AB

C 三边的中垂线的交点

C ．△ABC 三条高所在直线的交点

D ．△ABC 三条角平分线的交点

6．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=.若

60=∠BAC ，则 ABC ∠

的大小为 （ ）

A ． 40

B ． 60

C ． 80

D ． 100

二.填空题

7. 在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3.折叠该纸片，使点A 与点B 重合，

折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长为 .

8. 如图，已知在ABC △中，90,,A AB AC CD ∠=︒=平分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若

15BC cm =，则DEB △的周长为 cm ．