初中角平分线知识点总结与巧用
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角平分线知识点总结与巧用
一.定义、定理
1.角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条 射线叫做这个角的角平分线。
2..角平分线的性质定理:在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3.逆定理:在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
4.三角形内心:三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。 二.基本结论
1.三角形内(外)角平分线夹角结论
(1)如图①PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ⇒∠P=90°+
2
1
∠A , 且点P 在∠BAC 的角平分线上
(2)如图PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角⇒∠P=90°-2
1
∠A ,
且点P 在∠BAC 的角平分线上
(3)如图PB 平分∠ABC 、PC 平分∠ACB 的外角⇒∠P=2
1
∠A
且点P 在∠BAC 外角的角平分线上
2.三角形的三条角平分线交于一点(内心),这个点到三角形三边的距离相等。
3.三角形内(外)角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
(1)在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线⇒AB:AC=BD:DC
(2)AD是△ABC外角∠BAP的角平分线⇒AB:AC=BD:DC
三、关于角平分线常见的辅助线作法:
1.作双高,或多高
(1)构造全等
(2)对角互补形
四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线
,且∠3+∠4=180°⇔DA=DC
2.作平行线(1)平分平行⇒等腰
(2)构造A型、X型
3.截长补短构全等
4.平分线+高线,延长⇒等腰
四、典型例题灵活运用
1、如图在△ABC中,PB平分∠ABC,PC平分∠ACB的外角,连接AP,若∠BPC=40°,
则∠CAP= 50 °
2、已知:△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,过O的直线EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,若∠BOC=135°,EO:OF:OD=20:15:12,△ABC的面积为216,则OD=
3、在△ABC中,∠A=2∠B,AC=,BC=,D为射线BA上一点,D到直线AC,BC的距离相等,则AD= 。(两种情况)
4、在△ABC中,O是角平分线BE和CD的交点,∠A=60°,
求证:(1)求∠BOC的度数;(2)求证:OD=OE ;(3)求证:BC=BD+CE
5、矩形ABCD中,F为BC中点,∠1=∠2,求证:AE=AB+EC
6、在正方形ABCD中,∠1=∠2,求证:AE=BE+DF
10、在△ABC中,AD是中线,∠1=∠2,CE(答案:3)
D
E
O
B
A
2
1
C A D
B
B
11、如图,在等边△ABC 中,AB=8,D 为AB 中点,点E 在BC 上, 点F 在AC 上, 且AF=3CF, DE 平分∠BDF,则BE= (答案:27-2)
12、如图,已知菱形ABCD,点E 为AD 边上一点,连接CE,把△CDE 沿着CE 翻折,CD 的对应边所在直线交直线AB 于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_______________
B
答案:6
13. 如图,在等边△ABC 中, AB=4,AD ⊥BC 于点D ,点P 在AB 的延长线上,点Q 在AB 上,∠PDQ=60°,
QD延长线交AC延长线于点R(PB (答案: 3 7 ) 60° Q D R C A B P 14、已知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,∠EDC=45°. (1)求证:∠AED+ 2 1 ∠ABC=90° (2)过点E作DE的垂线,交DC于M,交BA延长线于N.若NE:MC=2:3, 探究BD与BC的数量关系. 15、已知; 在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为BC边上的一点BE=AC。 (1)求证:∠BEA+∠DAC=180°; (2)过点C作CH⊥AB与点H,分别交BE、AD与点M、N,过点E作EF∥AC,交CH于点Q,若BE=EF+DF,BE:EF=3:2, 图1 图2 请你探究线段MH 与ME 之间的数量关系,并证明你的结论。