概率论期中考试试卷及答案

1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.

解:

把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

30

2415=C C 种方法

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法

因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故

12572

625360)(=

=B P

2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解：

设x,y 分别为两船到达码头的时刻。

由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111

()24576,()2322506.522

()

()0.8793

()

x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===⨯+⨯===Ω={(x,y)},

A={(x,y)或},有所以，

3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求：

(1) 该件商品是次品的概率。

(2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解:

1231122331,

(1)

()()(|)()(|)()(|)

=60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024

(2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++=

设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知

111()()(|)60%*(1-98%)

()

()0.024 =0.5P AB P B P A B P A P A =

=

4.甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为0.7,08,0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。

解：

设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时间内恰有i 台机床需要照管，i=0、1.

显然，0B 与1B 互斥，123A A A 、、相互独立。并且：

123012312311231231230101(=(=(=(=((((=(=(+(+(=+(=((P A P A P A P B P A A A P A P A P A P B P A A A P A A A P A A A P B B P B P B ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋃+）0.3、）0.2、）0.1

））=）））=0.70.80.90.504，））））

0.30.80.90.70.20.9+0.70.80.1=0.398故最多只有一台机床需要照顾的概率为：）））=0.902

5.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 X （以分钟计）服从参数为1/5的指数分布，某顾客在窗口等候服务，若超过10 分钟，他就离开．他一月内要到银行5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算P {Y ≥ 1}． 解：

151

2510

20202551,0()5

0,015(10),

5~(5,)

(1)1(0)1()(1-)=1-0.4833=0.5167

x x e x X f x x Y n p P X e dx e Y B e P Y P Y C e e -+∞

-----⎧>⎪

=⎨⎪≤⎩

==>==≥=-==-⨯⎰的密度函数为为伯努利概型，其中，，即

6. 某种电池的寿命X （单位：小时）是一个随机变量，服从μ = 300，σ = 35 的正态分布，求这样的电池寿命在250 小时以上的概率，并求一允许限x ，使得电池寿命在(300 – x ，300 + x )内的概率不小于0.9．

(1.4286)0.9236;(1.65)0.95Φ=Φ=

解：

22~()=(30035)250300

(250)1(250)1()1( 1.4286)35

(1.4286)0.9236

(300300)(300)(300)(

)()2()10.9353535()0.95351.6557.7535X N N P X F P x X x F x F x x x x

x

x

x μσ-≥=-=-Φ=-Φ-=Φ=-<<+=+--=Φ-Φ-=Φ-≥Φ≥≥≥因，，故又即；

故，

7. 设随机变量X 在区间 (−1, 2)上服从均匀分布，求2x Y e = 的密度函数 解：

2-24-2

4

-241

,12

~(12)()3

0,1

,,

2111(),3261,6()0,X x Y Y x X U X f x dx Y e e y e dy y f y e y e y y e y e

y

Y f y ⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩==<<==<<⎧<<⎪=⎨⎪⎩

因，，有的密度函数为其他

又因为严格单增，且-1

8.假定某人浏览网站时独立且随机点击任意网站，点击甲网站概率为p ,(0

各次点击是独立的，对任意的m,n(m