应用题复习

应用题复习

1．某园林公司计划在一块O 为圆心,R (R 为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ∆区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元. (1) 设COD θ∠=,弧l CMD =,分别用θ,l 表示弓形CMDC 的面积

(),()S f S g l θ==弓弓;

(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? (参考公式:扇形面积公式

211

22

S R Rl θ=

=)

解：（1）2

12S R θ=

扇，

OCD S ∆

分 又12S Rl =Q 扇，S ∆.---------- 6 分

(2)设总利润为y 123y

21113()22y R lR π=-，221sin 82y R θ=⋅，31

(sin )22

y R l R θ=-⋅, ------9分

22221231111

3()sin 8(sin )22222

y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ . ----10分

设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈.

'()510cos g θθ=- , ……---------------------12分

'1()0,cos ,()2g g π

θθθθ<>∈在（0, ）

3上为减函数； '1()0,cos ,()2g g π

θθθθπ><∈在（，）

3

上为增函数. ------------14 分 当3

π

θ=

时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

3

π

时，总利润最大. -----------16 分 2．如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别在边AD ，AB 上，设x AN =（m ），液晶广告屏幕MNEF 的

面积为S (m 2

)．(1) 用x 的代数式表示AM ；

（2）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；

（3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？

N

B

A

（第2题图）

解：（1）39

x

AM x =

-(1030)x ≤≤． …2分 （2）22222

2

9(9)x MN AN AM x x =+=+-． …4分

∵:16:9MN NE =， ∴9

16

NE MN =

． ∴22

22999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-…6分定义域为[10,30]． ………8分

（3）224

918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]

8(9)x x x --⨯

-，………11分 令0S '=，得0x =（舍），3933x =+…………………13分 当310933x <+≤0,S 'S 关于x 为增函数；

∴当3933x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN 长为3933+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分

3．如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为.S (1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值. 解：（1）ab xy ay bx S +++=422，0,>y x （2）依题意，即求xy 4的最大值。 Θ0,>y x ，∴ay bx ay bx 22222⋅≥+

从而ab xy abxy S ++≥44，当且仅当ay bx =时等号成立 令xy t =，则0>t ，上述不等式可化为

0442≤-+⋅+S ab t ab t

解得：

2

2ab

S t ab

S -≤

≤-- 因为0>t ，所以2ab S t -≤

，从而4

2abS

S ab xy -+≤ 由⎩

⎨⎧+++==ab xy ay bx S ay bx 422得a ab

abS y b ab abS x 2,2-=

-= 所以当a

ab

abS y b ab abS x 2,2-=

-=

时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为abS S ab 2-+

4．在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3

个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2

cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为

2

v

(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y .(1)将y 表示为v 的函数;(2)设0

解：（1）潜入水底用时

v 30，用氧量为cv cv v

3030

2=⨯，水底作业时用氧量为24.05=⨯，