平面与空间直线练习题

高二数学同步检测一

平面与空间直线

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）

1.列命题是真命题的是( )

A.空间不同三点确定一个平面

B.空间两两相交的三条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内

答案:D

解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错.

如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.

如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.

2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )

A.30°

B.30°或150°

C.150°

D.以上结论都不对

答案:B

解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.

3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )

A.直线AC

B.直线BC

C.直线AB

D.直线CD

答案:D

解析:

CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.

4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直

线的图是( )

答案:C

解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C 中的PQ与RS异面.

5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )

①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④

答案:C

解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.

6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…( )

A.180°

B.90°

C.60°

D.45°

答案:C

解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC 内.

7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )

A.MN>a

B.MN=a

C.MN

D.不能确定

答案:C

解析:如图,取AC 中点P,则MP

21BC,NP AD,且MP+NP=2

1

(BC+AD)=a>MN,故C 正确. 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是

CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )

A.

510 B.515 C.54 D.3

2 答案:B

解析一:如图(1),取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H.易知OE ∥FH ，所以∠D 1FH 为所求异面直线所成的角.在△FHD 1中，

FD 1=

25，FH=23，D 1H=22由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为5

15. 解析二:如图(2),取BC 中点为G.连结GC 1、FD 1,则GC 1∥FD 1.再取GC 中点为H,连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角.

在△OEH 中，OE=

23,HE=45，OH=4

5. 由余弦定理，可得cos ∠OEH=

5

15

. 9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.

2

3

C.2

D.3 答案:C

解析:PQ 的最小值应是AB,CD 的公垂线段长.易知P,Q 分别是AB,CD 中点时,PQ ⊥AB,PQ ⊥

CD.在Rt△BQP中,

3-=2.

∵BQ=3,BP=1,∴PQ=1

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③

B.②④

C.③④

D.②③④

答案:C

解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.

因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,

则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,

因为BN=3a,ND′=2a,BD′=5a,所以BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）

11.以下四个命题:

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB;

③l⊄α,A∈l⇒A∉a;

④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合.

其中推理正确的序号是__________.

答案:①②④