第五章 插值与最小二乘法

第五章 插值与最小二乘法

5.1 插值问题与插值多项式

实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数

，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使

(5.1.1)

就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间.

通常，其中是一组在上线性

无关的函数族，表示组成的函数空间表示为

(5.1.2)

这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当

时，表示次数不超过n次的多项式集合，

，此时

(5.1.3)

称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有

分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.

从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示.

插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.

本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式.

讲解：

插值多项式就是根据给定n+1个点 ，求一个n次多项式：

使

即

这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数

的线性方程组。当节点互异时由于系数行列式

所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。

5.2 Lagrange插值

5.2.1 线性插值与二次插值

最简单的插值问题是已知两点及，通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式

(5.2.1)

显然，满足插值条件，所以就是线性插值.若记

则称为与的线性插值基函数.如图5-2所示.

于是

当n=2，已给三点,

称为关于点的二次插值基函数，它满足

(5.2.2)

的图形见图5-3.它们是满足(5.2.2)的二次插值多项式.满足条件

的二次插值多项式可表示为

(5.2.3)

的图形是通过三点的抛物线.

5.2.2 Lagrange插值多项式

将n=1及n=2的插值推广到一般情形，考虑通过(n+1)个点，的插值多项式,使

(5.2.4)

用插值基函数方法可得

(5.2.5)

其中

(5.2.6)

称为关于的n次插值基函数，它满足条件

显然(5.2.5)得到的插值多项式满足条件(5.2.4)，则称为Lagrange(拉格

朗日)插值多项式.

引入记号

(5.2.7)

则

于是由(5.2.6)得到的可改写为

从而(5.2.4)中的可改为表达式

(5.2.8)

并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论.

定理2.1满足条件(5.2.4)的插值多项式是存在唯一的.

证明存在性已由(5.2.5)给出的证明，下面只需证明唯一性.用反证法，假定

还有另一个使成立，于是有且

，它表明n次多项式有n+1个根这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.

5.2.3 插值余项与误差估计

若插值区间为,在上有插值多项式，则称为插

值余项.

定理 2.2设(表示f(x)在上(n+1)阶导数连续)，且节点

，则满足条件(5.2.4)的插值多项式对有

(5.2.9)

这里是(5.2.7)所定义的.

证明 由插值条件(5.2.4)可知，故对任何x∈有

(5.2.10)

其中K(x)是依赖于x的待定函数.将x∈看做区间上任一固定点，作函数

，

显然，且，它表明在上有n+2个零点

及x，由Rolle定理可知在上至少有n+1个零点.反复应用Rolle定理，

可得在上至少有一个零点ξ∈,使

即

代入(5.2.10)则得余项表达式(5.2.9).证毕.

注意定理中ξ∈依赖于x及点，此定理只在理论上说明ξ存在，

实际上仍依赖于x，即使x固定，ξ也无法确定.因此，余项表达式(5.2.9)的准确值是算不出的，只能利用(5.2.9)式做截断误差估计，由

可得误差估计

(5.2.11)

当n=1时可得线性插值的误差估计

(5.2.12)

当n=2时有二次插值的误差估计

(5.2.13)

利用余项表达式(5.2.9)，当时，由于，于是有

即 (5.2.14) 它表明当时，插值多项式就是它自身，(5.2.14)也给出了插值基函数

的性质，特别当k=0时有

例5.1 已给，，，用线性插值及二次插值计算sin 0.336 7的近似值并估计误差.

解由题意知被插函数为[，给定插值点为，

，，，，.由(5.2.1)知线性插值函数为

当x=0.336 7时

其截断误差由(5.2.12)得