1.1 第1课时 正切与坡度
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当铅直高度与水平宽度的比相等时， 梯子一样陡
E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
倾斜角越大，梯子越陡.
A
E
总结:铅直高度与水平宽度
的比和倾斜角的大小都可用
5m
6m
来判断梯子的倾斜程度.
B 2m C F 3m D
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如
B3C3 )呢?
A
相似三角形的对应边成比例
思考：由此你得出什么结论?
B1
B2 B3
C3 C2
C1
归纳总结
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边
与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
A的对边 tanA= A的邻边
B
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
直
高
梯子与地面的夹角
度
∠ＡＢＣ称为倾斜角
B
水平宽度 C
合作探究1 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些 办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
CF
D
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
7
5
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A
和∠B的对边、邻边.
B D
(1) tanA =
(BC) = CD
AC
( AD)
(2) tanB=
( AC) = CD
A
C
BC
( BD)
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA = tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A =∠B.
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
方法总结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
当堂练习
1.完成下列填空：
B
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
5
AC=12,tanA=( 12 ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, A
合作探究2 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚
的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？
B1
B2
A
C2 C1
想一想 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
两个直角三角形相似
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系? 相等
AC1 AC2
3.如图,P是的边 OA 上一点，点 P的坐标为
12, 5
，则
tan
5
=__________.
12
M 记得构造直角三角形哦！
课堂小结
定义
正切
与梯子倾 斜程度的 关系
∠A越大，tanA越大, 梯子越陡
坡度
铅直高度
tan 水平宽度
C
5
12
AB=13,tanA=(12 ),tanB=( 5 ).
3
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= 4 ,
AC=( 20 ).
3
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ D ）
A. 3
B. 4
5
5
3
4
C. 4
D. 3
这个图呢？
议一议
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
┌
A
C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一
的确定的值与它对应.
典例精析
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯
比较陡?
甲
13m
α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大
100倍,tanA的值（ C ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
┌
A
C
二 坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
概念学习
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
解:甲梯中,tan 5 5 .
132 52 12
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用 一个锐角的正切表 示梯子的倾斜程度.
练一练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=__5____，tan B =__7____．
为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高 60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
tan 60 3 .
100 5
Байду номын сангаас
60m α 100m ┌
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为 1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( B )
A. 2 5 B. 2 10 C. 4 5 D . 6 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
第一章 直角三角形的边 角关系
1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
图片欣赏 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
A
称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，
铅
称为梯子的水平宽度
∠A的对 ┌边 A ∠A的邻边 C
定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC 的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 形 45..tt中aannAA锐不的对邻角表大∠示 小A只“的与t对an∠边”乘A与以的邻“大边A小的”有.比关（，注而意与顺直序角：对邻三角）形. 的 边长无关.
E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
倾斜角越大，梯子越陡.
A
E
总结:铅直高度与水平宽度
的比和倾斜角的大小都可用
5m
6m
来判断梯子的倾斜程度.
B 2m C F 3m D
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如
B3C3 )呢?
A
相似三角形的对应边成比例
思考：由此你得出什么结论?
B1
B2 B3
C3 C2
C1
归纳总结
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边
与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
A的对边 tanA= A的邻边
B
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
直
高
梯子与地面的夹角
度
∠ＡＢＣ称为倾斜角
B
水平宽度 C
合作探究1 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些 办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
CF
D
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
7
5
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A
和∠B的对边、邻边.
B D
(1) tanA =
(BC) = CD
AC
( AD)
(2) tanB=
( AC) = CD
A
C
BC
( BD)
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA = tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A =∠B.
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
方法总结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
当堂练习
1.完成下列填空：
B
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
5
AC=12,tanA=( 12 ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, A
合作探究2 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚
的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？
B1
B2
A
C2 C1
想一想 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
两个直角三角形相似
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系? 相等
AC1 AC2
3.如图,P是的边 OA 上一点，点 P的坐标为
12, 5
，则
tan
5
=__________.
12
M 记得构造直角三角形哦！
课堂小结
定义
正切
与梯子倾 斜程度的 关系
∠A越大，tanA越大, 梯子越陡
坡度
铅直高度
tan 水平宽度
C
5
12
AB=13,tanA=(12 ),tanB=( 5 ).
3
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= 4 ,
AC=( 20 ).
3
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ D ）
A. 3
B. 4
5
5
3
4
C. 4
D. 3
这个图呢？
议一议
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
┌
A
C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一
的确定的值与它对应.
典例精析
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯
比较陡?
甲
13m
α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大
100倍,tanA的值（ C ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
┌
A
C
二 坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
概念学习
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
解:甲梯中,tan 5 5 .
132 52 12
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用 一个锐角的正切表 示梯子的倾斜程度.
练一练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=__5____，tan B =__7____．
为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高 60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
tan 60 3 .
100 5
Байду номын сангаас
60m α 100m ┌
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为 1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( B )
A. 2 5 B. 2 10 C. 4 5 D . 6 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
第一章 直角三角形的边 角关系
1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
图片欣赏 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
A
称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，
铅
称为梯子的水平宽度
∠A的对 ┌边 A ∠A的邻边 C
定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC 的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 形 45..tt中aannAA锐不的对邻角表大∠示 小A只“的与t对an∠边”乘A与以的邻“大边A小的”有.比关（，注而意与顺直序角：对邻三角）形. 的 边长无关.