数学分析1.4函数的性质

π 2
<
x 1 +x 2 2
<
π，− π
2
2
≤
x 1 −x 2 2
<
0，
∴cosx1+x2>0；sinx1−x2 < 0，
2
2
从而
y1-y2=sin
x1-sin
x2=2
cosx1
+x 2
2
sinx
1
−x 2
2
<
0,
即 y1<y2；
∴y=sinx 在[− π , π]上严格递增.
22
(3)设
x1,x2∈[0,
x∈D
∴-ξ 是-f(x)的一个上界。
又对任意的ε>0，存在 x0∈D，使 f(x0)< ξ+ε，即-f(x0)>-ξ-ε；
∴sup −f x = −ξ = − inf f x .
x∈D
x∈D
(2)令sup f x = η. 由上确界定义知，对任意 x∈D，有 f(x)≢η，即-f(x)≣-η；
则称 f 为 D 上的有界函数。
例 1：证明 f(x)= 1x为(0,1]上的无上界函数.
证：对任何正数
M，在(0,1]上取一点
x0=M1+1，则有
f(x0)=
1 =M+1>M.
x0
∴f(x)= 1x为(0,1]上的无上界函数.
例 2：设 f, g 为 D 上的有界函数. 证明：
(1)inf f x + inf g x ≤ inf f x + g x ；
(1)F(x)=f(x)+f(-x), x∈[-a,a]为偶函数；
(2)G(x)=f(x)-f(-x) , x∈[-a,a]为奇函数；
(3)f 可表示为某个奇函数和某个偶函数之和.
证：(1)F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，对任意的 x∈[-a,a]都成立，
∴F(x)=f(x)+f(-x)是[-a,a]上的偶函数.
∴F(2x)是[-a,a]上的偶函数；G(2x)是[-a,a]上的奇函数. 原命题得证。
7、设 f, g 为定义在 D 上的有界函数，满足 f(x)≢g(x), x∈D.
证明：(1)sup f(x) ≤ sup g(x)；(2) inf f(x) ≤ inf g(x).
x∈D
x∈D
x∈D
x∈D
sup f x −sup g(x)
第一章 实数集与函数
4 具有某些特性的函数
一、有界函数 定义 1：设 f 为定义在 D 上的函数。若存在数 M(L)，使得对每一个 x∈D 有
f(x)≢M（f(x)≣L）. 则称 f 为 D 上的有上（下）界函数，M（L）称为 f 在 D 上的一个上（下）界。
定义 2：设 f 为定义在 D 上的函数。若存在正数 M，使得对每一个 x∈D 有 |f(x)|≢M.
3
解：(1)cos2x=1(1+cos2x). ∵cos2x 的周期为 π，∴cos2x 的周期为 π.
2
(2)∵tanx 的周期为 π，∴tan3x 的周期为π.
3
(3)∵cos2x的周期为 4π，sin3x的周期为 6π，∴cos2x+2sin3x的周期为 12π.
6、设函数 f 定义在[-a,a]上，证明：
x∈D
x ∈D
2
，
sup f x +sup g(x)
即 f(x0)> x∈D
x ∈D
2
> g(x0)，这与题设 f(x)≢g(x)矛盾，∴sup f(x) ≤ sup g(x).
x∈D
x∈D
inf f x − inf g(x)
(2)若 inf f x > inf g(x)，令∵ε= x∈D x∈D >0，由下确界定义知，
证：|f(x)|=|x2x+1|≢|2xx|=12对一切
x∈R
都成立，∴f(x)=
x是
x 2 +1
R
上的有界函数.
2、(1)叙述无界函数的定义；
(2)证明
f(x)=
1 x2
为(0,1)上的无界函数；
(3)举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间[0,1]上的无界函数.
解：(1)设 f(x)在 D 上有定义。若对任意正数 M，都存在 x0∈D，使|f(x0)|>M. 则 称函数 f(x)为 D 上的无界函数。
π]，且
x1<x2，则有0
<
x 1 +x 2 2
<
π，−
π 2
≤Leabharlann Baidu
x 1 −x 2 2
<
0，
∴sinx
1
+x2 2
>0；sinx
1
−x 2 2
<
0，
从而
y1-y2=cos
x1-cos
x2=
-2
sinx 1 +x 2
2
sinx1−x2 > 0,
2
即 y1>y2；
∴y=cosx 在[0, π]上严格递减.
(3)f(-x)= (-x)2e−(−x)2= x2e−x2=f(x). 偶函数。
(4)f(-x)= lg(-x+
1 + (−x)2)= lg
1 1+x2
=
+x
-lg(x+
1 + x2)= -f(x). 奇函数.
5、求下列函数的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cosx+2sinx.
2
x∈D
x∈D
inf f x + inf g x ≤ inf f x + g x .
x∈D
x∈D
x∈D
(2) f x ≤ sup f x ；g x ≤ sup g x ；∴f x + g(x) ≤ sup f x + sup g x ;
x ∈D
x∈D
x∈D
x∈D
可见sup f x + sup g x 是f x + g(x)在 D 上的一个上界，从而
四、周期函数 设 f 为定义在数集 D 上的函数。若存在σ>0，使得对一切 x∈D 有 f(x±σ)=f(x)， 则称 f 为周期函数，σ为 f 的一个周期。在周期函数的所有周期中最小的周期， 称为基本周期，或简单称为周期。常量函数没有基本周期。
习题
1、证明 f(x)= x2x+1是 R 上的有界函数.
例 3：函数 y=x3 在 R 上是严格增的。因为对任何 x1,x2∈D，当 x1< x2 时，总有
x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
x21)2+
3x1 4
2
]>0，即
x13<x23.
例 4：函数 y=[x]在 R 上是增的，因为对任何 x1,x2∈R，当 x1< x2 时，总有[x1]≢[x2].
例 5：函数 y=x2 在(-∞,0)上是严格减的，有反函数 y=− x，x∈(0,+∞)；y=x2 在[0,+∞)
上是严格增的，有反函数 y= x，x∈[0,+∞). 但 y=x2 在整个定义域 R 上不是单调 的，也不存在反函数.
例 6：证明：y=ax 当 a>1 时，在 R 上严格增；当 0<a<1 时在 R 上严格减.
r<x1
r<x2
∴ax 当 0<a<1 时，在 R 上严格减.
根据定理 1.2 可知：对数函数 y=logax 当 a>1 时，在 R 上严格增；当 0<a<1 时在 R 上严格减.
三、奇函数和偶函数 定义 4：设 D 为对称于原点的数集，f 为定义在 D 上的函数。若对每一个 x∈D 有 f(-x)= -f(x)（f(-x)=f(x)），则称 f 为 D 上的奇(偶)函数。 从函数图象上看，奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称。
(2)G(-x)=f(-x)-f(x)= -G(x)，对任意的 x∈[-a,a]都成立，
∴G(x)=f(x)-f(-x)是[-a,a]上的奇函数.
(3)f(x)= f x +f −x
+(f 2
x
−f
−x
)=F (x )+2 G (x )；
(1)中已证 F(x)是[-a,a]上的偶函数；(2)中已证 G(x)是[-a,a]上的奇函数；
22
(3)y=cosx 在[0, π]上严格递减.
证：(1)设 x1,x2∈(-∞,+ ∞)，且 x1<x2，则 y1-y2=3x1-1-(3x2-1)=3(x1-x2)<0，即 y1<y2，
∴y=3x-1 在(-∞,+ ∞)上严格递增.
(2)设
x1,x2∈[−
π 2
,
π 2
]，且
x1<x2，则有−
4、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=1 x4+x2-1；(2)f(x)=x+sinx；(3)f(x)=x2e−x2；(4)f(x)=lg(x+ 1 + x2).
4
解：(1)f(-x)= 1 (−x)4+(-x)2-1=1 x4+x2-1=f(x). 偶函数。
4
4
(2)f(-x)= -x+sin(-x)= -x-sinx= -(x+sinx)=-f(x). 奇函数。
证：给定 x1, x2∈R，且 x1<x2. 取 r1, r2∈Q，且 x1<r1<r2<x2，故有：
当 a>1 时，ax1 = sup {ar|r 为有理数|}≢ar1 <ar2 ≢sup{ar|r 为有理数|} = ax2，
r<x1
r<x2
∴y=ax 当 a>1 时，在 R 上严格增.
当 0<a<1 时，ax1 = sup {ar|r 为有理数|}≣ar1 >ar2 ≥ sup{ar|r 为有理数|} = ax2 ，
x∈D
x∈D
sup f x + g x ≤ sup f x + sup g x .
x∈D
x∈D
x∈D
二、单调函数 定义 3：设 f 为定义在 D 上的函数，若对任何 x1,x2∈D，当 x1< x2 时，总有 (1)f(x1)≢f(x2)，则称 f 为 D 上的增函数，当 f(x1)<f(x2)时，称 f 为 D 上的严格增函 数； (2)f(x1)≣f(x2)，则称 f 为 D 上的减函数，当 f(x1)>f(x2)时，称 f 为 D 上的严格减函 数. 增函数和减函数统称单调函数，严格增函数和严格减函数统称严格单调函数.
f(x)≢g(x)矛盾，∴
inf
x∈D
f(x)
≤
inf g(x).
x∈D
8、设 f 为定义在 D 上的有界函数，证明：
(1) sup −f x = − inf f x ；(2) inf −f x = −sup f x .
x∈D
x∈D
x∈D
x∈D
证：(1)令 inf f x =ξ. 由下确界定义知，对任意 x∈D，有 f(x)≣ξ，即-f(x)≢-ξ；
x∈D
x∈D
2
存在
x0∈D，使
g(x0)<
inf
x∈D
g
x
+ε=
inf
x ∈D
f
x
+ inf
x ∈D
2
g(x)，
sup f x +sup g(x)
又对任意的 x∈D，f(x)> inf f(x)-ε= x∈D
x ∈D
，
x∈D
2
sup f x +sup g(x)
即 f(x0)> x∈D
x ∈D
2
>
g(x0)，这与题设
证：(1)若sup f x > sup g(x)，令ε= x∈D x∈D >0，由上确界定义知，
x∈D
x∈D
2
sup f x +sup g(x)
存在 x0∈D，使 f(x0)> sup f x −ε= x∈D
x∈D
x ∈D
2
，
sup f x +sup g(x)
又对任意的 x∈D，g(x)< sup g(x)+ε= x∈D
严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点，这一特性保证了 它必定具有反函数。
定理 1.2：设 y=f(x), x∈D 为严格增(减)函数，则 f 必有反函数 f-1，且 f-1 在其定义 域 f(D)上也是严格增(减)函数。 证：设 f 在 D 上严格增，对任一 y∈f(D)，有 x∈D 使 f(x)=y. 若有 x1∈D，且 x1≠x，使 f(x1)=y；则 y=f(x)非严格增函数； ∴对每一个 y∈f(D)，都有唯一的一个 x∈D，使得 f(x)=y； 从而函数 f 存在反函数 x=f-1(y), y∈f(D). 任取 y1，y2∈f(D)，使 y1<y2. 设 x1=f-1(y1), x2=f-1(y2)，则 y1=f(x1), y2=f(x2)， 当 y=f(x), x∈D 为严格增函数时，x1<x2，即 f-1(y1)< f-1(y2)， ∴f-1 在其定义域 f(D)上也是严格增函数。 当 y=f(x), x∈D 为严格减函数，x1>x2，即 f-1(y1)> f-1(y2)， ∴f-1 在其定义域 f(D)上也是严格减函数。
x∈D
x∈D
x∈D
(2)sup f x + g x ≤ sup f x + sup g x ；
x ∈D
x∈D
x∈D
证：(1) inf f x ≤ f(x)； inf g x ≤ g(x)；∴ inf f x + inf g x ≤ f x + g(x)；
x∈D
x∈D
x∈D
x∈D
可见inf f x + inf g x 是f x + g(x)在 D 上的一个下界，从而
(2)证：任意给定正数 M，设 x0=
M1+1∈(0,1)，则有|f(x0)|=
1 x02
=M+1>M.
∴f(x)=
1 x2
为(0,1)上的无界函数.
1, (3)例如 f(x)= x
2,
x ∈ 0,1 当 x = 0,1 时
3、证明下列函数在指定区间上的单调性；
(1)y=3x-1 在(-∞,+ ∞)上严格递增；(2)y=sinx 在[− π , π]上严格递增；