函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8

|3x |15

x 2x y 2-+--=

的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

⎩⎨

⎧≠-+≥--②①

8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④

③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。

例2 求函数2

x

161

x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

⎩

⎨⎧>-≥②①0x 160

x sin 2

由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③

由②解得4x 4<<-

④

由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而

3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求

g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R ；

当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是

1

m 00)8m (m 4)m 6(0m 2

≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数3

kx 4kx 7

kx )x (f 2+++=

的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即

03kx 4kx 2=++无实数

①当k ≠0时，0k 34k 162<⨯-=∆恒成立，解得4

3k 0<<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k 的取值范围是4

3k 0<

≤。 四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为

)x 2a (2

1

-于是可得矩形面积。 2x ax 21

)x 2a (21x y -=-⋅=

ax 2

1

x 2+-=。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

⎩⎨

⎧>->⇒⎪⎩⎪

⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (2

10

x 2

a

x 0<<⇒。

故所求函数的解析式为ax 2

1

x y 2+

-=，定义域为（0，2a ）。

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数)3x 2x (log y 2

2++-=的单调区间。

解：由03x 2x 2>++-，即03x 2x 2<--，解得3x 1<<-。即函数y 的定义域为（－1，3）。

函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 2

2++-==，复合而成的。

4)1x (3x 2x t 22+--=++-=，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数，而t log y 2=在其定义域上单调增；

3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞-I I ，所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数，在区间)31[，上是减函数。

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x

1y =

的值域。

解：∵0x ≠

∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y 例2. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-= ∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例3. 求函数y= 6x 54

x 3++ 值域。

解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=

则其反函数为：

3x 5y 64y --=

，其定义域为：53

x ≠